গণিত • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪

গণিত প্রশ্ন

△PQR \triangle \mathrm{PQR} এর PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে B ও C । আবার DEF সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ এর EF অতিভুজ। A, EF এর উপর যে-কোন বিন্দু ।

  1. ক)

    উদ্দীপকের আলোকে ত্রিভুজ দুটি অঙ্কন কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, BC∥QR \mathrm{BC} | \mathrm{QR} এবং BC=12QR \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, AE2+AF2=2AD2 \mathrm{AE}^{2}+\mathrm{AF}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    অঙ্কনের বিবরণ:

    (১) △PQR\triangle PQR: ইচ্ছামতো দৈর্ঘ্যের QRQR আঁকি। QQ ও RR কে কেন্দ্র করে ইচ্ছামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে (একই পাশে) দুইটি চাপ আঁকি, যারা PP বিন্দুতে ছেদ করে। P,QP, Q ও P,RP, R যোগ করি। PQPQ ও PRPR এর লম্বদ্বিখণ্ডক এঁকে মধ্যবিন্দু BB ও CC নির্ণয় করি এবং B,CB, C যোগ করি।

    (২) △DEF\triangle DEF: DEDE আঁকি। DD বিন্দুতে DEDE এর উপর লম্ব আঁকি এবং DD কে কেন্দ্র করে DEDE এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে লম্বের উপর FF কাটি, অর্থাৎ DF=DEDF = DE। E,FE, F যোগ করি। △DEF\triangle DEF সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ EFEF। এরপর EFEF এর উপর যেকোনো বিন্দু AA নিই এবং A,DA, D যোগ করি।

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle PQR এ PQPQ ও PRPR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে BB ও CC। প্রমাণ করতে হবে, BC∥QRBC \parallel QR এবং BC=12QRBC = \frac{1}{2}QR।

    অঙ্কন: BCBC কে DD পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন CD=BCCD = BC হয়। R,DR, D যোগ করি।

    প্রমাণ:
    ১. △PBC\triangle PBC ও △CRD\triangle CRD এ PC=CRPC = CR (CC মধ্যবিন্দু), BC=CDBC = CD (অঙ্কন) এবং ∠PCB=∠RCD\angle PCB = \angle RCD (বিপ্রতীপ কোণ)।
    ২. সুতরাং △PBC≅△CRD\triangle PBC \cong \triangle CRD (বাহু-কোণ-বাহু)। অতএব PB=RDPB = RD এবং ∠PBC=∠CDR\angle PBC = \angle CDR।
    ৩. ∠PBC\angle PBC ও ∠CDR\angle CDR একান্তর কোণ এবং সমান, তাই PB∥RDPB \parallel RD অর্থাৎ BQ∥RDBQ \parallel RD।
    ৪. PB=BQPB = BQ (BB মধ্যবিন্দু) এবং PB=RDPB = RD, তাই BQ=RDBQ = RD।
    ৫. BQBQ ও RDRD সমান ও সমান্তরাল, অতএব BQRDBQRD একটি সামান্তরিক। সুতরাং BD∥QRBD \parallel QR এবং BD=QRBD = QR।
    ৬. BC∥QRBC \parallel QR এবং BC=12BD=12QRBC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}QR। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: △DEF\triangle DEF এ ∠EDF=90∘\angle EDF = 90^\circ, DE=DFDE = DF, অতিভুজ EFEF এবং AA বিন্দু EFEF এর উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, AE2+AF2=2AD2AE^2 + AF^2 = 2AD^2।

    অঙ্কন: DD থেকে EFEF এর উপর লম্ব DMDM আঁকি। (AA কে MM ও FF এর মধ্যে ধরি।)

    প্রমাণ:
    ১. DE=DFDE = DF এবং DM⊥EFDM \perp EF বলে MM বিন্দু EFEF এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ EM=MFEM = MF।
    ২. ∠E=45∘\angle E = 45^\circ এবং ∠DME=90∘\angle DME = 90^\circ, তাই ∠EDM=45∘\angle EDM = 45^\circ। সুতরাং DM=EMDM = EM।
    ৩. AE=EM+MAAE = EM + MA এবং AF=MF−MA=EM−MAAF = MF - MA = EM - MA।
    ৪. AE2+AF2=(EM+MA)2+(EM−MA)2=2(EM2+MA2)=2(DM2+MA2)AE^2 + AF^2 = (EM + MA)^2 + (EM - MA)^2 = 2(EM^2 + MA^2) = 2(DM^2 + MA^2)।
    ৫. সমকোণী △ADM\triangle ADM এ AD2=DM2+MA2AD^2 = DM^2 + MA^2।

    ∴AE2+AF2=2AD2\therefore AE^2 + AF^2 = 2AD^2। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন