গণিত • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

গণিত প্রশ্ন

cot⁡A+cos⁡A=X\cot A + \cos A = X এবং cot⁡A−cos⁡A=Y\cot A - \cos A = Y।

  1. ক)

    tan⁡5a=cot⁡5a\tan 5a = \cot 5a হলে, aa এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, (X2−Y24)2=XY\left(\frac{X^2 - Y^2}{4}\right)^2 = XY.

    (2)
  3. গ)

    XY=2+32−3\frac{X}{Y} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} হলে, (tan⁡2A+12)\left(\tan^2 A + \frac{1}{2}\right) এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    tan⁡5a=cot⁡5a=tan⁡(90∘−5a)\tan5a=\cot5a=\tan(90^\circ-5a)

    বা, 5a=90∘−5a5a=90^\circ-5a

    বা, 10a=90∘10a=90^\circ

    সুতরাং, a=9∘a=\mathbf{9^\circ}।

  2. খ)

    X2−Y2=(X+Y)(X−Y)=(2cot⁡A)(2cos⁡A)=4cot⁡Acos⁡AX^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)=(2\cot A)(2\cos A)=4\cot A\cos A

    বামপক্ষ =(4cot⁡Acos⁡A4)2=cot⁡2Acos⁡2A=\left(\dfrac{4\cot A\cos A}4\right)^2=\cot^2A\cos^2A

    ডানপক্ষ =XY=(cot⁡A+cos⁡A)(cot⁡A−cos⁡A)=cot⁡2A−cos⁡2A=XY=(\cot A+\cos A)(\cot A-\cos A)=\cot^2A-\cos^2A

    =cos⁡2Asin⁡2A−cos⁡2A=cos⁡2A(1sin⁡2A−1)=cos⁡2A⋅1−sin⁡2Asin⁡2A=cos⁡2A⋅cos⁡2Asin⁡2A=cos⁡2Acot⁡2A=\dfrac{\cos^2A}{\sin^2A}-\cos^2A=\cos^2A\left(\dfrac1{\sin^2A}-1\right)=\cos^2A\cdot\dfrac{1-\sin^2A}{\sin^2A}=\cos^2A\cdot\dfrac{\cos^2A}{\sin^2A}=\cos^2A\cot^2A

    সুতরাং বামপক্ষ == ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    দেওয়া আছে, XY=2+32−3\dfrac XY=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}

    যোগ-বিয়োগ করে, X+YX−Y=(2+3)+(2−3)(2+3)−(2−3)=423=23\dfrac{X+Y}{X-Y}=\dfrac{(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)}{(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)}=\dfrac4{2\sqrt3}=\dfrac2{\sqrt3}

    এখানে X+Y=2cot⁡AX+Y=2\cot A এবং X−Y=2cos⁡AX-Y=2\cos A, তাই cot⁡Acos⁡A=23\dfrac{\cot A}{\cos A}=\dfrac2{\sqrt3}

    বা, 1sin⁡A=23\dfrac1{\sin A}=\dfrac2{\sqrt3}, তাই sin⁡A=32\sin A=\dfrac{\sqrt3}2, অর্থাৎ A=60∘A=60^\circ।

    tan⁡2A+12=tan⁡260∘+12=3+12=72\tan^2A+\dfrac12=\tan^260^\circ+\dfrac12=3+\dfrac12=\dfrac72।

    সুতরাং, মান 72\mathbf{\dfrac72}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন