গণিত • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

p=tan⁡β,q=cot⁡β \mathrm{p}=\tan \beta, \mathrm{q}=\cot \beta এবং r=sec⁡θ−tan⁡θ \mathrm{r}=\sec \theta-\tan \theta .

  1. ক)

    A=30∘ \mathrm{A}=30^{\circ} হলে প্রমাণ কর যে, cos⁡2 A=1−tan⁡2 A1+tan⁡2 A \cos 2 \mathrm{~A}=\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, p1−q+q1−p=sec⁡βcosec⁡β+1 \frac{p}{1-q}+\frac{q}{1-p}=\sec \beta \operatorname{cosec} \beta+1

    (2)
  3. গ)

    r=1a \mathrm{r}=\frac{1}{\mathrm{a}} হলে, প্রমাণ কর যে, cot⁡θ=2aa2−1 \cot \theta=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{a}^{2}-1}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    A=30∘A = 30^\circ হলে বামপক্ষ =cos⁡2A=cos⁡60∘=12= \cos 2A = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}।

    ডানপক্ষ =1−tan⁡230∘1+tan⁡230∘=1−131+13=2343=12= \frac{1 - \tan^2 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}।

    ∴\therefore বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    প্রমাণ: p=tan⁡βp = \tan\beta, q=cot⁡βq = \cot\beta বসিয়ে,

    বামপক্ষ =tan⁡β1−cot⁡β+cot⁡β1−tan⁡β= \frac{\tan\beta}{1 - \cot\beta} + \frac{\cot\beta}{1 - \tan\beta}

    =sin⁡βcos⁡βsin⁡β−cos⁡βsin⁡β+cos⁡βsin⁡βcos⁡β−sin⁡βcos⁡β= \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin\beta - \cos\beta}{\sin\beta}} + \frac{\frac{\cos\beta}{\sin\beta}}{\frac{\cos\beta - \sin\beta}{\cos\beta}}

    =sin⁡2βcos⁡β(sin⁡β−cos⁡β)−cos⁡2βsin⁡β(sin⁡β−cos⁡β)= \frac{\sin^2\beta}{\cos\beta(\sin\beta - \cos\beta)} - \frac{\cos^2\beta}{\sin\beta(\sin\beta - \cos\beta)}

    =sin⁡3β−cos⁡3βsin⁡βcos⁡β(sin⁡β−cos⁡β)= \frac{\sin^3\beta - \cos^3\beta}{\sin\beta\cos\beta(\sin\beta - \cos\beta)}

    =(sin⁡β−cos⁡β)(sin⁡2β+sin⁡βcos⁡β+cos⁡2β)sin⁡βcos⁡β(sin⁡β−cos⁡β)= \frac{(\sin\beta - \cos\beta)(\sin^2\beta + \sin\beta\cos\beta + \cos^2\beta)}{\sin\beta\cos\beta(\sin\beta - \cos\beta)}

    =1+sin⁡βcos⁡βsin⁡βcos⁡β=1sin⁡βcos⁡β+1=sec⁡βcosec⁡β+1== \frac{1 + \sin\beta\cos\beta}{\sin\beta\cos\beta} = \frac{1}{\sin\beta\cos\beta} + 1 = \sec\beta\operatorname{cosec}\beta + 1 = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    আমরা জানি, sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 বা (sec⁡θ−tan⁡θ)(sec⁡θ+tan⁡θ)=1(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta) = 1।

    r=sec⁡θ−tan⁡θ=1ar = \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{a} হলে, sec⁡θ+tan⁡θ=a\sec\theta + \tan\theta = a।

    যোগ করে: 2sec⁡θ=a+1a2\sec\theta = a + \frac{1}{a} বা sec⁡θ=a2+12a\sec\theta = \frac{a^2 + 1}{2a}।

    বিয়োগ করে: 2tan⁡θ=a−1a2\tan\theta = a - \frac{1}{a} বা tan⁡θ=a2−12a\tan\theta = \frac{a^2 - 1}{2a}।

    ∴cot⁡θ=1tan⁡θ=2aa2−1\therefore \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{2a}{a^2 - 1}। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন