গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $C$ অর্ধবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $\angle ACB = 90^\circ$।

   অঙ্কন: $O, C$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   ১. $OA = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OAC = \angle OCA$।
   ২. $OB = OC$, তাই $\angle OBC = \angle OCB$।
   ৩. $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = \angle OAC + \angle OBC = \angle A + \angle B$।
   ৪. $\triangle ABC$ এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$ বা $2\angle ACB = 180^\circ$।

   $\therefore \angle ACB = 90^\circ$। অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $QS$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QOS$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle QPS$। প্রমাণ করতে হবে, $\angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$।

   অঙ্কন: $P, O$ যোগ করে $PO$ কে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

   প্রমাণ: চিত্র অনুযায়ী $O$ বিন্দু $\angle QPS$ এর ভিতরে অবস্থিত।
   ১. $OP = OQ$ বলে $\angle OPQ = \angle OQP$। $\triangle OPQ$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle QOT = \angle OPQ + \angle OQP = 2\angle OPQ$।
   ২. একইভাবে $OP = OS$ বলে $\triangle OPS$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle SOT = 2\angle OPS$।
   ৩. যোগ করে, $\angle QOT + \angle SOT = 2(\angle OPQ + \angle OPS)$ বা $\angle QOS = 2\angle QPS$।

   $\therefore \angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PR$ ও $QS$ জ্যা দুইটি $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$।

   অঙ্কন: $Q, R$ যোগ করি। ($P, O$ এবং $R, O$ যোগ করা আছে।)

   প্রমাণ:
   ১. $PR$ রেখা $E$ বিন্দু দিয়ে যায়, তাই $\angle PEQ$ হলো $\triangle EQR$ এর বহিঃস্থ কোণ। অতএব $\angle PEQ = \angle EQR + \angle ERQ = \angle SQR + \angle PRQ$।
   ২. $PQ$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POQ$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle PRQ$, তাই $\angle POQ = 2\angle PRQ$।
   ৩. $RS$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROS$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle SQR$, তাই $\angle ROS = 2\angle SQR$।
   ৪. যোগ করে, $\angle POQ + \angle ROS = 2(\angle PRQ + \angle SQR) = 2\angle PEQ$। (প্রমাণিত)