গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্রে $\triangle PQR$ এ $\angle Q=90^\circ$, $PQ=2\sqrt3$ এবং অতিভুজ $PR=4$।

   পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $QR^2=PR^2-PQ^2=16-12=4$

   সুতরাং, $QR=\mathbf{2}$ একক।

2. খ)

   $\sin P=\dfrac{QR}{PR}=\dfrac24=\dfrac12$, তাই $\angle P=30^\circ$। $\triangle PQR$ এ $\angle P+\angle R=90^\circ$, তাই $\angle R=60^\circ$। আবার $\angle Q=90^\circ$।

   $\tan^2P=\tan^230^\circ=\dfrac13$, $\cot^2R=\cot^260^\circ=\dfrac13$

   $\sin^2Q=\sin^290^\circ=1$, $\cos^2R=\cos^260^\circ=\dfrac14$

   প্রদত্ত রাশি $=\dfrac{\frac13+\frac13}{1+\frac14}=\dfrac{\frac23}{\frac54}=\dfrac23\times\dfrac45=\dfrac8{15}$

   সুতরাং, মান $\mathbf{\dfrac8{15}}$।

3. গ)

   (kha) থেকে, $\angle P=30^\circ$ এবং $\angle R=60^\circ$।

   চিত্রানুসারে, $\angle P=\alpha-\beta$, তাই $\alpha-\beta=30^\circ$ ...(i)

   এবং $\angle R=\alpha+\beta$, তাই $\alpha+\beta=60^\circ$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $2\alpha=90^\circ$, অর্থাৎ $\alpha=45^\circ$।

   (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে, $2\beta=30^\circ$, অর্থাৎ $\beta=15^\circ$।

   সুতরাং, $\alpha=45^\circ$ এবং $\beta=15^\circ$। (দেখানো হলো)