i. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ ও RT দুটি জ্যা। OA ⊥PQ p…

গণিত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২০

i. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ ও RT দুটি জ্যা। OA ⊥PQ \perp \mathrm{PQ} ও OB⊥RT O B \perp R T ii. C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু D এবং DE ও DF উহার দুইটি স্পর্শক।

ক)
△PQRএ∠Q=90∘ \triangle \mathrm{PQR} এ \angle \mathrm{Q}=90^{\circ} এবং QT⊥PR \mathrm{QT} \perp \mathrm{PR} হলে, দেখাও যে, △PQT \triangle \mathrm{PQT} ও △PQR \triangle \mathrm{PQR} সদৃশ।
(1)
খ)
প্রমাণ কর যে, DE=DF \mathrm{DE}=\mathrm{DF}
(2)
গ)
PQ>RT \mathrm{PQ}>\mathrm{RT} হলে, প্রমাণ কর যে, OA<OB \mathrm{OA}<\mathrm{OB}
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
$\triangle PQT$ ও $\triangle PQR$ এ,

$\angle P$ সাধারণ কোণ

$\angle PTQ=\angle PQR=90^\circ$ [ $QT\perp PR$ এবং $\angle Q=90^\circ$ ]

সুতরাং কোণ-কোণ (AA) শর্তে $\triangle PQT\sim\triangle PQR$ (দেখানো হলো)।
খ)
বর্ণনা: $C$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $D$ থেকে $DE$ ও $DF$ দুটি স্পর্শক, যারা বৃত্তকে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে $DE=DF$ ।

অঙ্কন: $C,E$ ; $C,F$ এবং $C,D$ যোগ করি।

প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই $CE\perp DE$ ও $CF\perp DF$ ।

$\triangle CED$ ও $\triangle CFD$ এ, $\angle CED=\angle CFD=90^\circ$ , অতিভুজ $CD$ সাধারণ, $CE=CF$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।

সুতরাং $\triangle CED\cong\triangle CFD$ (অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা)

$\therefore DE=DF$ (প্রমাণিত)
গ)
বর্ণনা: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $PQ$ ও $RT$ দুটি জ্যা, $OA\perp PQ$ , $OB\perp RT$ এবং $PQ>RT$ । প্রমাণ করতে হবে $OA<OB$ ।

অঙ্কন: $O,P$ ও $O,R$ যোগ করি।

প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PA=\frac12PQ$ এবং $RB=\frac12RT$ ।

$PQ>RT$ বলে $PA>RB$ , তাই $PA^2>RB^2$ ......(i)

সমকোণী $\triangle OAP$ এ, $OA^2=OP^2-PA^2$

সমকোণী $\triangle OBR$ এ, $OB^2=OR^2-RB^2$

$OP=OR$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং (i) থেকে $OP^2-PA^2<OR^2-RB^2$

$\therefore OA^2<OB^2$ , অর্থাৎ $OA<OB$ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন