গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sec\theta=\frac{13}{12}$ অর্থাৎ অতিভুজ $=13$, ভূমি $=12$। লম্ব $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$।
   $\sin\theta=\frac{5}{13}$, $\cos\theta=\frac{12}{13}$।
   $\therefore\ \sin\theta+\cos\theta=\frac{5}{13}+\frac{12}{13}=\mathbf{\frac{17}{13}}$।

2. খ)

   চিত্র-১ এ $AB=72$ মিটার (গাছটি $D$ বিন্দুতে ভেঙে শীর্ষ $A$ মাটির $C$ বিন্দু স্পর্শ করেছে), তাই $AD=DC$ এবং $AD+DB=72$, অর্থাৎ $DC+DB=72$।

   সমকোণী $\triangle BDC$-এ $\angle BDC=30^{\circ}$, তাই $\cos30^{\circ}=\frac{BD}{DC}$, বা $DC=\frac{BD}{\cos30^{\circ}}=\frac{2BD}{\sqrt{3}}$।

   $\therefore\ BD+\frac{2BD}{\sqrt{3}}=72$, বা $BD\left(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}\right)=72$, বা $BD=\frac{72\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=72\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=144\sqrt{3}-216$।

   $\therefore\ BD=144\sqrt{3}-216\approx\mathbf{33.42}$ মিটার।

3. গ)

   চিত্র-২ এ $PQ$ উলম্ব, $\angle PSQ=45^{\circ}$, $\angle PRQ=60^{\circ}$, $SR=54$ মি. এবং $\angle Q=90^{\circ}$। ধরি $PQ=h$।

   $\triangle PQS$-এ $\tan45^{\circ}=\frac{PQ}{SQ}$, বা $SQ=h$।
   $\triangle PQR$-এ $\tan60^{\circ}=\frac{PQ}{QR}$, বা $QR=\frac{h}{\sqrt{3}}$।

   $SQ-QR=SR$ থেকে $h-\frac{h}{\sqrt{3}}=54$, বা $h\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}=54$।
   $\therefore\ h=\frac{54\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{54\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=27(3+\sqrt{3})\approx127.77$ মি.।

   অতএব $PQ=SQ=127.77$ মি. এবং $PS=\frac{PQ}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}\times127.77\approx180.69$ মি.।

   $\triangle PQS$ এর পরিসীমা $=PQ+SQ+PS=127.77+127.77+180.69=\mathbf{436.23}$ মিটার (প্রায়)।