গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $PQRS$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ, তাই বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180^\circ$।

   $\angle PSR=x$ ধরি, তাহলে $\angle PQR=2x$

   $2x+x=180^\circ\Rightarrow x=60^\circ$

   $\therefore\angle PQR=2\times60^\circ=120^\circ$

   উত্তর: $\angle PQR=\mathbf{120^\circ}$

2. খ)

   বর্ণনা: $M$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $DE$ চাপের উপর $\angle DME$ কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle DCE$ বৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle DCE=\frac12\angle DME$।

   অঙ্কন: $C,M$ যোগ করে $F$ পর্যন্ত বাড়াই।

   প্রমাণ: $\triangle MCD$ এ $MC=MD$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle MCD=\angle MDC$।

   বহিঃস্থ $\angle DMF=\angle MCD+\angle MDC=2\angle MCD$ ......(i)

   একইভাবে $\triangle MCE$ এ, বহিঃস্থ $\angle EMF=2\angle MCE$ ......(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle DMF+\angle EMF=2(\angle MCD+\angle MCE)$

   $\Rightarrow\angle DME=2\angle DCE$

   $\therefore\angle DCE=\frac12\angle DME$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বর্ণনা: $M$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $CD$ ও $CE$ দুটি জ্যা এবং $CD=CE$। প্রমাণ করতে হবে $M$ থেকে $CD$ ও $CE$ এর দূরত্ব সমান।

   অঙ্কন: $M$ থেকে $CD$ ও $CE$ এর উপর যথাক্রমে $MX\perp CD$ এবং $MY\perp CE$ আঁকি। $M,C$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

   তাই $CX=\frac12CD$ এবং $CY=\frac12CE$; যেহেতু $CD=CE$, তাই $CX=CY$।

   সমকোণী $\triangle MXC$ ও $\triangle MYC$ এ, অতিভুজ $MC$ সাধারণ এবং $CX=CY$।

   সুতরাং $\triangle MXC\cong\triangle MYC$ (অতিভুজ-বাহু), ফলে $MX=MY$।

   $\therefore CD$ ও $CE$ জ্যাদ্বয় কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)