গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a=4$ এবং সাধারণ অন্তর $d=7-4=3$।

   $n$ তম পদ $a+(n-1)d=181$

   বা, $4+(n-1)\cdot3=181$

   বা, $3(n-1)=177$

   বা, $n-1=59$, তাই $n=60$।

   সুতরাং, ধারাটির ৬০ তম পদ ১৮১।

2. খ)

   ধরি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$। শর্তমতে, $a+12d=85$ (১৩ তম পদ)।

   প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি $S_{25}=\dfrac{25}{2}\{2a+(25-1)d\}=\dfrac{25}{2}(2a+24d)=25(a+12d)$

   $=25\times85=\mathbf{2125}$।

3. গ)

   গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$ হলে, শর্তমতে $ar^3=3\sqrt3$ ...(i) এবং $ar^6=8$ ...(ii)

   (ii) $\div$ (i): $r^3=\dfrac{8}{3\sqrt3}=\left(\dfrac2{\sqrt3}\right)^3$, তাই $r=\dfrac2{\sqrt3}$

   (i) থেকে, $a=\dfrac{3\sqrt3}{r^3}=3\sqrt3\times\dfrac{3\sqrt3}{8}=\dfrac{27}8$

   $r>1$, তাই $S_{10}=\dfrac{a(r^{10}-1)}{r-1}$

   $r^{10}=\dfrac{2^{10}}{3^5}=\dfrac{1024}{243}$, তাই $r^{10}-1=\dfrac{781}{243}$

   $r-1=\dfrac{2-\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3-3}{3}$

   $S_{10}=\dfrac{27}8\times\dfrac{781}{243}\times\dfrac3{2\sqrt3-3}=\dfrac{781}{8\times9}\times\dfrac3{2\sqrt3-3}=\dfrac{781}{24(2\sqrt3-3)}$। (দেখানো হলো)