উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $\triangle ABC$ এর $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$ এবং মধ্যমা $AD = d$, $BE = e$, $CF = f$। অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ বা $b^2 + c^2 = 2d^2 + \frac{a^2}{2}$। সুতরাং $d^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$। অনুরূপভাবে $e^2 = \frac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4}$ এবং $f^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}$। যোগ করে পাই, $d^2 + e^2 + f^2 = \frac{4(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}{4} = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$। অর্থাৎ মধ্যমাত্রয়ের বর্গের সমষ্টি বাহুত্রয়ের বর্গের সমষ্টির $\frac{3}{4}$ অংশ। [দেখানো হলো]