গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $y^4-79y^2+1 = (y^2+1)^2-81y^2 = (y^2+1)^2-(9y)^2 = \mathbf{(y^2+9y+1)(y^2-9y+1)}$

2. খ)

   $a=0$ হলে $b+c=m=4$ এবং $b^2+c^2=n=10$।

   $bc = \dfrac{(b+c)^2-(b^2+c^2)}{2} = \dfrac{16-10}{2}=3$

   $b^3+c^3 = (b+c)^3-3bc(b+c) = 64-36 = 28$

   $(b^2+c^2)(b^3+c^3) = b^5+c^5+b^2c^2(b+c)$
   $\Rightarrow 10\times28 = b^5+c^5+9\times4$
   $\therefore b^5+c^5 = 280-36=\mathbf{244}$।

3. গ)

   ধরি প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$। তৃতীয় পদ $ar^2=\dfrac1{\sqrt3}$ এবং দশম পদ $ar^9=\dfrac1{81}$।

   $\dfrac{ar^9}{ar^2} = r^7 = \dfrac{1}{81}\times\sqrt3 = \dfrac{3^{1/2}}{3^4} = 3^{-7/2}$
   $\therefore r = 3^{-1/2}=\dfrac1{\sqrt3}$

   $a = \dfrac{1}{\sqrt3\,r^2} = \dfrac{1}{\sqrt3}\times3=\sqrt3$

   সুতরাং ধারাটি: $\sqrt3 + 1 + \dfrac1{\sqrt3} + \dfrac13 + \cdots$