গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\log_{11}\left(\sqrt[3]{11}\sqrt{11}\right) = \log_{11}\left(11^{\frac{1}{3}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}\right) = \log_{11} 11^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$

   $= \log_{11} 11^{\frac{5}{6}} = \dfrac{5}{6}\log_{11} 11 =$ $\dfrac{5}{6}$

2. খ)

   (i) নং ধারা $3 + 5 + 7 + \ldots$ সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 3$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 2$।

   $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$

   শর্তমতে, $\dfrac{n}{2}\{6 + 2(n-1)\} = 360$

   বা, $n(n + 2) = 360$

   বা, $n^2 + 2n - 360 = 0$

   বা, $(n + 20)(n - 18) = 0$

   $n = 18$ অথবা $n = -20$

   পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। অতএব, $n = 18$।

3. গ)

   (ii) নং ধারা $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \ldots$ গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{1}{3} < 1$।

   $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

   $S_9 = \dfrac{1 \times \left(1 - \frac{1}{3^9}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}\left(1 - \dfrac{1}{19683}\right)$

   $= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{19682}{19683} = \dfrac{9841}{6561}$

   অতএব, প্রথম ৯টি পদের সমষ্টি $\dfrac{9841}{6561}$ ($\approx 1.4999$)।