গণিত • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

চিত্রে, M বৃত্তের কেন্দ্র।

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, QT > PQ:

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, ∠QPS=12∠QMS \angle \mathrm{QPS}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{QMS} .

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, ∠PQR+∠PSR=180∘ \angle P Q R+\angle P S R=180^{\circ}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    চিত্রে MM বৃত্তের কেন্দ্র এবং QTQT কেন্দ্রগামী, তাই QTQT বৃত্তের ব্যাস। PQPQ ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা।

    M,PM,P যোগ করি। △MPQ\triangle MPQ এ MQ+MP>PQMQ+MP>PQ (ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়)।

    MQ=MP=rMQ=MP=r (ব্যাসার্ধ), তাই 2r>PQ2r>PQ। কিন্তু ব্যাস QT=2rQT=2r।

    সুতরাং, QT>PQQT>PQ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    চিত্রে MM কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে QSQS চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QMS\angle QMS এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠QPS\angle QPS।

    অঙ্কন: P,MP,M যোগ করে FF পর্যন্ত বাড়াই যেন FF বৃত্তের উপর থাকে।

    প্রমাণ: △MPQ\triangle MPQ এ MP=MQMP=MQ, তাই ∠MPQ=∠MQP\angle MPQ=\angle MQP। বহিঃস্থ কোণ ∠QMF=2∠MPQ\angle QMF=2\angle MPQ ...(i)

    একইভাবে △MPS\triangle MPS এ ∠SMF=2∠MPS\angle SMF=2\angle MPS ...(ii)

    (i) ও (ii) যোগ করে, ∠QMS=2(∠MPQ+∠MPS)=2∠QPS\angle QMS=2(\angle MPQ+\angle MPS)=2\angle QPS

    সুতরাং, ∠QPS=12∠QMS\angle QPS=\dfrac12\angle QMS। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    চিত্রে PQRSPQRS বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ, MM কেন্দ্র। QQ ও SS বিপরীত শীর্ষ।

    অঙ্কন: M,PM,P ও M,RM,R যোগ করি।

    প্রমাণ: PSRPSR চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PMR=x\angle PMR=x হলে বৃত্তস্থ কোণ ∠PQR=x2\angle PQR=\dfrac x2 (যেহেতু QQ ঐ চাপে নেই)।

    PQRPQR চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ 360∘−x360^\circ-x হলে বৃত্তস্থ কোণ ∠PSR=360∘−x2\angle PSR=\dfrac{360^\circ-x}2।

    যোগ করে, ∠PQR+∠PSR=x2+360∘−x2=180∘\angle PQR+\angle PSR=\dfrac x2+\dfrac{360^\circ-x}2=180^\circ। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন