উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   $3x^2 - 4y^2 = 12$
   বা, $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$
   এটি $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি অধিবৃত্ত, যেখানে $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 3$।

   কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

   উত্তর: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ধনাত্মক $X$-অক্ষে অবস্থিত এবং $OA = 1$, সুতরাং $A(1, 0)$।
   উপকেন্দ্র ঋণাত্মক $X$-অক্ষে অবস্থিত এবং $OS = 1$, সুতরাং $S(-1, 0)$।

   দেওয়া আছে, নিয়ামক রেখা $MZM'$-এর সমীকরণ: $x = 3 \implies x - 3 = 0$।

   পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে:
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{|x - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}\right)^2$
   $\implies (x + 1)^2 + y^2 = (x - 3)^2$
   $\implies x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 6x + 9$
   $\implies y^2 = -8x + 8$
   $\implies y^2 = -8(x - 1)$

   এটিই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   পরাবৃত্তটির সমীকরণকে $Y^2 = -4AX$ আকারের সাথে তুলনা করলে,
   $4A = 8$
   অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= |4A| = 8$ একক।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   উপবৃত্তটির কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0, 0)$ এবং অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
   যেহেতু $AO < OB$, সেহেতু বৃহৎ অক্ষ $Y$-অক্ষ বরাবর ($b > a$)।

   দেওয়া আছে, $AA' = 6 \implies 2a = 6 \implies a = 3$।
   উপকেন্দ্র $S(0, 4)$ দেওয়া আছে, সুতরাং $be = 4$।

   আমরা জানি,
   $a^2 = b^2(1 - e^2)$
   $\implies a^2 = b^2 - (be)^2$
   $\implies 3^2 = b^2 - 4^2$
   $\implies 9 = b^2 - 16$
   $\implies b^2 = 25 \implies b = 5$

   সুতরাং, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{be}{b} = \frac{4}{5}$।

   অতএব, নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $y = \pm \frac{b}{e}$
   $\implies y = \pm \frac{5}{4/5} = \pm \frac{25}{4}$
   $\implies 4y \pm 25 = 0$

   (নির্দিষ্ট উপকেন্দ্র $S(0, 4)$-এর অনুরূপ নিয়ামক রেখা: $4y - 25 = 0$)।