উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি: $(3 - 2x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}\left(1 - \frac{2x}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

   আমরা জানি, $(1 - y)^n$ এর দ্বিপদী বিস্তৃতি বৈধ হবে যদি $|y| < 1$ হয়।
   এখানে, $y = \frac{2x}{3}$
   সুতরাং, $\left|\frac{2x}{3}\right| < 1$
   $\Rightarrow |2x| < 3$
   $\Rightarrow |x| < \frac{3}{2}$ বা $-\frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

   অতএব, $|x| < \frac{3}{2}$ এর জন্য বিস্তৃতিটি বৈধ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 5x + 3 = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   $\alpha + \beta = 5$
   $\alpha\beta = 3$

   তাহলে, $5 - \alpha = \beta$ এবং $5 - \beta = \alpha$

   সুতরাং নির্ণেয় মূলদ্বয় হলো:
   $\frac{3}{5-\alpha} = \frac{3}{\beta}$ এবং $\frac{3}{5-\beta} = \frac{3}{\alpha}$

   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $S = \frac{3}{\beta} + \frac{3}{\alpha} = 3\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\right) = 3\left(\frac{5}{3}\right) = 5$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $P = \left(\frac{3}{\beta}\right) \left(\frac{3}{\alpha}\right) = \frac{9}{\alpha\beta} = \frac{9}{3} = 3$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - Sx + P = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 5x + 3 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর রাশি: $\frac{1+x}{\sqrt{1-2x}} = (1+x)(1-2x)^{-\frac{1}{2}}$

   আমরা জানি,
   $(1-y)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \left(-\frac{1}{2}\right)(-y) + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{2!}(-y)^2 + \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)}{3!}(-y)^3 + \dots$
   $= 1 + \frac{1}{2}y + \frac{3}{8}y^2 + \frac{5}{16}y^3 + \dots$

   এখানে $y = 2x$ বসিয়ে পাই:
   $(1-2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}(2x) + \frac{3}{8}(2x)^2 + \frac{5}{16}(2x)^3 + \dots$
   $= 1 + x + \frac{3}{8}(4x^2) + \frac{5}{16}(8x^3) + \dots$
   $= 1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \dots$

   অতএব,
   $(1+x)(1-2x)^{-\frac{1}{2}} = (1+x)\left(1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \dots\right)$

   এখানে $x^3$ এর সহগ হবে:
   $1 \times \left(\frac{5}{2}\right) + 1 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

   অতএব, $x^3$ এর সহগ হলো $4$।