গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $= \frac{2\pi r\theta}{360^\circ}$ এবং বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{\pi r^2\theta}{360^\circ}$।

   এখানে $r = 6$ মি., $\theta = 60^\circ$।

   বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য $= \frac{2\pi \times 6 \times 60}{360} = 2\pi = 2 \times 3.1416 \approx 6.28$ মি.।

   বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{\pi \times 36 \times 60}{360} = 6\pi = 6 \times 3.1416 \approx 18.85$ বর্গমি.।

   সুতরাং, চাপের দৈর্ঘ্য প্রায় ৬.২৮ মি. এবং বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল প্রায় ১৮.৮৫ বর্গমি.।

2. খ)

   ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহু $a$ মিটার। বাহু $4$ মিটার বাড়লে নতুন বাহু $(a+4)$ মিটার।

   ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $= \frac{\sqrt{3}}{4}(a+4)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 20\sqrt{3}$

   $\frac{\sqrt{3}}{4}\{(a+4)^2 - a^2\} = 20\sqrt{3}$

   $(a+4)^2 - a^2 = 80 \Rightarrow 8a + 16 = 80 \Rightarrow a = 8$

   ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = 16\sqrt{3} \approx 27.71$ বর্গমি.।

   সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং ক্ষেত্রফল $16\sqrt{3}$ বর্গমিটার (প্রায় ২৭.৭১ বর্গমিটার)।

3. গ)

   ধরি, ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $5k$, $4k$ ও $3k$ মিটার।

   সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2(lb + bh + hl)$

   $2(20k^2 + 12k^2 + 15k^2) = 1504 \Rightarrow 94k^2 = 1504 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4$

   সুতরাং দৈর্ঘ্য $= 20$ মি., প্রস্থ $= 16$ মি., উচ্চতা $= 12$ মি.।

   কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{400 + 256 + 144} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \approx 28.28$

   সুতরাং, ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য $20\sqrt{2}$ মিটার (প্রায় ২৮.২৮ মিটার)।