উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: কোনো কণার উপর P1,P2,P3 P_{1}, P_{2}, P_{3} মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। P2 P_{2} ও P3 P_{3} , P3 P_{3} ও P1 P_{1} এবং P1 P_{1} ও P2 P_{2} এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে α,β,γ \alpha, \beta, \gamma .

  1. ক)

    15 N এবং 10 N সদৃশ সমান্তরাল বল 5 মিটার লম্বা একটি রডের দুইপ্রান্তে কার্যরত হলে বৃহত্তর বল হতে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করবে?

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, বলগুলোর লব্ধি, [P12+P22+P32+2P2P3cos⁡α+2P3P1cos⁡β+2P1P2cos⁡γ]12. \left[P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}+2 P_{2} P_{3} \cos \alpha+2 P_{3} P_{1} \cos \beta+2 P_{1} P_{2} \cos \gamma\right]^{\frac{1}{2}} .

    (2)
  3. গ)

    বলগুলো সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করণে প্রমাণ কর যে, P1sin⁡α=P2sin⁡β=P3sin⁡γ \frac{P_{1}}{\sin \alpha}=\frac{P_{2}}{\sin \beta}=\frac{P_{3}}{\sin \gamma} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, ABAB রডের দৈর্ঘ্য d=5 md = 5\text{ m}।
    AA বিন্দুতে বৃহত্তর বল P=15 NP = 15\text{ N} এবং BB বিন্দুতে অপর বল Q=10 NQ = 10\text{ N} ক্রিয়াশীল।
    লব্ধি R=P+Q=15+10=25 NR = P + Q = 15 + 10 = 25\text{ N} রডের উপর CC বিন্দুতে ক্রিয়ারত, যেখানে AA থেকে CC এর দূরত্ব xx।
    সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের শর্তানুসারে,
    P⋅AC=Q⋅BCP \cdot AC = Q \cdot BC
    ⇒15⋅x=10⋅(5−x)\Rightarrow 15 \cdot x = 10 \cdot (5 - x)
    ⇒15x=50−10x\Rightarrow 15x = 50 - 10x
    ⇒25x=50\Rightarrow 25x = 50
    ⇒x=2 m\Rightarrow x = 2\text{ m}
    অতএব, বৃহত্তর বল হতে লব্ধি 2 m2\text{ m} দূরে ক্রিয়া করবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, কোনো বিন্দু OO-তে ক্রিয়াশীল তিনটি একতলীয় বল যথাক্রমে P1⃗,P2⃗,P3⃗\vec{P_1}, \vec{P_2}, \vec{P_3}।
    তাদের মধ্যবর্তী কোণ:
    P2⃗\vec{P_2} ও P3⃗\vec{P_3} এর অন্তর্গত কোণ α\alpha,
    P3⃗\vec{P_3} ও P1⃗\vec{P_1} এর অন্তর্গত কোণ β\beta,
    P1⃗\vec{P_1} ও P2⃗\vec{P_2} এর অন্তর্গত কোণ γ\gamma।

    বলগুলোর লব্ধি R⃗\vec{R} হলে,
    R⃗=P1⃗+P2⃗+P3⃗\vec{R} = \vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3}
    লব্ধির মান RR এর বর্গ:
    R2=∣R⃗∣2=(P1⃗+P2⃗+P3⃗)⋅(P1⃗+P2⃗+P3⃗)R^2 = |\vec{R}|^2 = (\vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3}) \cdot (\vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3})
    ⇒R2=∣P1⃗∣2+∣P2⃗∣2+∣P3⃗∣2+2(P2⃗⋅P3⃗+P3⃗⋅P1⃗+P1⃗⋅P2⃗)\Rightarrow R^2 = |\vec{P_1}|^2 + |\vec{P_2}|^2 + |\vec{P_3}|^2 + 2(\vec{P_2} \cdot \vec{P_3} + \vec{P_3} \cdot \vec{P_1} + \vec{P_1} \cdot \vec{P_2})
    ⇒R2=P12+P22+P32+2P2P3cos⁡α+2P3P1cos⁡β+2P1P2cos⁡γ\Rightarrow R^2 = P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 + 2 P_2 P_3 \cos \alpha + 2 P_3 P_1 \cos \beta + 2 P_1 P_2 \cos \gamma

    অতএব, লব্ধি,
    R=[P12+P22+P32+2P2P3cos⁡α+2P3P1cos⁡β+2P1P2cos⁡γ]12R = \left[P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}+2 P_{2} P_{3} \cos \alpha+2 P_{3} P_{1} \cos \beta+2 P_{1} P_{2} \cos \gamma\right]^{\frac{1}{2}} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক অনুসারে, কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত তিনটি একতলীয় বল P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করেছে।
    এখানে,
    P2P_2 ও P3P_3 এর মধ্যবর্তী কোণ = α\alpha,
    P3P_3 ও P1P_1 এর মধ্যবর্তী কোণ = β\beta,
    P1P_1 ও P2P_2 এর মধ্যবর্তী কোণ = γ\gamma।

    লামির উপপাদ্য অনুসারে,
    কোনো বিন্দুতে কার্যরত তিনটি সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রতিটি বলের মান অপর বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের (sine) সমানুপাতিক হয়।

    অতএব,
    P1sin⁡(angle between P2 and P3)=P2sin⁡(angle between P3 and P1)=P3sin⁡(angle between P1 and P2)\frac{P_1}{\sin(\text{angle between } P_2 \text{ and } P_3)} = \frac{P_2}{\sin(\text{angle between } P_3 \text{ and } P_1)} = \frac{P_3}{\sin(\text{angle between } P_1 \text{ and } P_2)}
    ⇒P1sin⁡α=P2sin⁡β=P3sin⁡γ\Rightarrow \frac{P_{1}}{\sin \alpha} = \frac{P_{2}}{\sin \beta} = \frac{P_{3}}{\sin \gamma} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন