গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $6x : 8y = 11 : 16 \Rightarrow \frac{6x}{8y} = \frac{11}{16} \Rightarrow 96x = 88y \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{11}{12}$

   $\frac{x+y}{x-y} = \frac{11+12}{11-12} = \frac{23}{-1} = \mathbf{-23}$ (যোজন-বিয়োজন করে)

2. খ)

   দেওয়া আছে, $m^2 - \frac{2m}{x} + 1 = 0 \Rightarrow m^2 + 1 = \frac{2m}{x} \Rightarrow \frac{m^2+1}{2m} = \frac{1}{x}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{m^2 + 1 + 2m}{m^2 + 1 - 2m} = \frac{1 + x}{1 - x}$
   $\Rightarrow \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \frac{1+x}{1-x}$
   $\Rightarrow \frac{m+1}{m-1} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(m+1)+(m-1)}{(m+1)-(m-1)} = \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

   $\therefore m = \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   ধরি $u = \frac{y}{11a}$, $v = \frac{y}{11b}$। লব-হরকে $11a$ ও $11b$ দ্বারা ভাগ করে, প্রদত্ত সমীকরণ হয়
   $\frac{u+1}{u-1} + \frac{v+1}{v-1} = 2$

   $\Rightarrow (u+1)(v-1) + (v+1)(u-1) = 2(u-1)(v-1)$
   $\Rightarrow 2uv - 2 = 2uv - 2u - 2v + 2$
   $\Rightarrow 2u + 2v = 4 \Rightarrow u + v = 2$

   $\Rightarrow \frac{y}{11a} + \frac{y}{11b} = 2 \Rightarrow \frac{y(a+b)}{11ab} = 2$

   $\therefore y = \frac{22ab}{a+b}$ (প্রমাণিত)