গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan B = \dfrac{5}{12}$, অর্থাৎ লম্ব $= 5$, ভূমি $= 12$। অতিভুজ $= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$।

   $\sin B = \dfrac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \dfrac{5}{13}$

   উত্তর: $\sin B = \dfrac{5}{13}$

2. খ)

   $x = \tan p + \sin p$, $y = \tan p - \sin p$

   $x + y = 2\tan p$, $x - y = 2\sin p$

   $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 2\tan p \times 2\sin p = 4\tan p \sin p$

   $xy = \tan^2 p - \sin^2 p = \dfrac{\sin^2 p}{\cos^2 p} - \sin^2 p = \sin^2 p\left(\dfrac{1}{\cos^2 p} - 1\right) = \sin^2 p \cdot \tan^2 p$

   $\therefore \sqrt{xy} = \sin p \tan p$ ($p$ সূক্ষ্মকোণ)

   $\therefore \dfrac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}} = \dfrac{4\tan p \sin p}{\sin p \tan p} = 4$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   এখানে $z = \cos^2 A - \sin^2 A$ এবং $z = 4 - 9\cos A$।

   $\cos^2 A - \sin^2 A = 4 - 9\cos A$

   $\Rightarrow \cos^2 A - (1 - \cos^2 A) = 4 - 9\cos A$

   $\Rightarrow 2\cos^2 A - 1 - 4 + 9\cos A = 0$

   $\Rightarrow 2\cos^2 A + 9\cos A - 5 = 0$

   $\Rightarrow 2\cos^2 A + 10\cos A - \cos A - 5 = 0$

   $\Rightarrow 2\cos A(\cos A + 5) - 1(\cos A + 5) = 0$

   $\Rightarrow (\cos A + 5)(2\cos A - 1) = 0$

   $\cos A + 5 = 0$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $\cos A \ge -1$। সুতরাং $2\cos A = 1$, অর্থাৎ $\cos A = \dfrac{1}{2} = \cos 60°$।

   উত্তর: $A = 60°$