গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1 - \cos^2\theta = \dfrac{3}{4}$ বা $\sin^2\theta = \dfrac{3}{4}$
   বা, $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$, তাই $\theta = 60^\circ$

   সুতরাং $\tan\theta = \tan 60^\circ = \mathbf{\sqrt{3}}$

2. খ)

   গাছের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, পাদবিন্দু $B$ এবং ভূতলস্থ বিন্দু $C$; $BC = 68\sqrt{3}$ মিটার। শীর্ষ $A$ থেকে $C$ এর অবনতি কোণ $60^\circ$, তাই $\angle ACB = 60^\circ$।

   $\tan 60^\circ = \dfrac{AB}{BC}$
   বা, $\sqrt{3} = \dfrac{h}{68\sqrt{3}}$
   বা, $h = 68\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 68 \times 3 = 204$

   সুতরাং গাছটির উচ্চতা $\mathbf{204}$ মিটার।

3. গ)

   নতুন উচ্চতা $h = \dfrac{68\sqrt{3}}{2} = 34\sqrt{3}$ মিটার।

   গাছটি ভূমি থেকে $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙে যায়। দণ্ডায়মান অংশ $= x$ মিটার এবং ভাঙা অংশ $= (h - x)$ মিটার। ভাঙা অংশ ভূমি স্পর্শ করে দণ্ডায়মান অংশের সাথে $60^\circ$ কোণ তৈরি করে।

   সমকোণী ত্রিভুজে (ভাঙা অংশ অতিভুজ): $\cos 60^\circ = \dfrac{x}{h - x}$
   বা, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{h - x}$
   বা, $h - x = 2x$ বা $3x = h$
   বা, $x = \dfrac{h}{3} = \dfrac{34\sqrt{3}}{3} = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$

   সুতরাং $x = \mathbf{\dfrac{34\sqrt{3}}{3}} \approx 19.63$ মিটার।