গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   আমরা জানি $\operatorname{cosec}^2\theta-\cot^2\theta=1$, অর্থাৎ $(\operatorname{cosec}\theta+\cot\theta)(\operatorname{cosec}\theta-\cot\theta)=1$

   $\operatorname{cosec}\theta+\cot\theta=\frac{1}{4/3}=\mathbf{\frac{3}{4}}$

2. খ)

   $P=2-\sin^2\theta=1+(1-\sin^2\theta)=1+\cos^2\theta$

   $Q=2+\tan^2\theta=1+(1+\tan^2\theta)=1+\sec^2\theta=1+\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{\cos^2\theta+1}{\cos^2\theta}$

   বামপক্ষ $=\frac{1}{1+\cos^2\theta}+\frac{\cos^2\theta}{1+\cos^2\theta}=\frac{1+\cos^2\theta}{1+\cos^2\theta}=1=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   $R=\operatorname{cosec}\theta$, তাই $\frac{1}{R}=\sin\theta$। ধরি $\sin\theta=s$।

   সমীকরণ: $4s^2-(2+2\sqrt{3})s+\sqrt{3}=0$

   $\Rightarrow4s^2-2\sqrt{3}s-2s+\sqrt{3}=0\Rightarrow2s(2s-\sqrt{3})-1(2s-\sqrt{3})=0\Rightarrow(2s-1)(2s-\sqrt{3})=0$

   অতএব $s=\frac{1}{2}$ অথবা $s=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

   $\sin\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=30^\circ$ এবং $R=2$

   $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\theta=60^\circ$ এবং $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$

   উত্তর: $R=\mathbf{2}$ অথবা $\mathbf{\frac{2}{\sqrt{3}}}$; অর্থাৎ $\theta=30^\circ$ অথবা $60^\circ$।