গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $=\dfrac12\times AB\times AC\times\sin\angle BAC=\dfrac12\times6\times8\times\sin60^\circ=24\times\dfrac{\sqrt3}2=12\sqrt3$

   $=$ $12\sqrt3$ বর্গ সে.মি. (প্রায় $20.78$ বর্গ সে.মি.)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এর $PQ$ ও $PR$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $S$ ও $T$। প্রমাণ করতে হবে, $ST\parallel QR$ এবং $QR=2ST$।

   অঙ্কন: $ST$ কে $U$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $TU=ST$ হয়। $R,U$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle PST$ ও $\triangle RUT$-এ $PT=RT$ ($T$ মধ্যবিন্দু), $ST=UT$ (অঙ্কন) এবং $\angle PTS=\angle RTU$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   $\therefore\triangle PST\cong\triangle RUT$, অতএব $PS=RU$ এবং $\angle SPT=\angle URT$।

   $\angle SPT$ ও $\angle URT$ একান্তর কোণ, তাই $PQ\parallel RU$, অর্থাৎ $QS\parallel RU$। আবার $QS=PS=RU$।

   সুতরাং $QSUR$ চতুর্ভুজের $QS$ ও $RU$ সমান ও সমান্তরাল, অতএব এটি সামান্তরিক। তাই $SU\parallel QR$ এবং $SU=QR$।

   $\therefore ST\parallel QR$ এবং $QR=SU=2ST$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এর $PQ$ ও $PR$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $S$ ও $T$। প্রমাণ করতে হবে, $\triangle PST$-এর ক্ষেত্রফল $=\dfrac14\times\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল।

   অঙ্কন: $Q,T$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $QT$ হলো $\triangle PQR$-এর মধ্যমা ($PT=TR$)। $\triangle PQT$ ও $\triangle RQT$-এর ভূমি $PT=TR$ এবং $Q$ থেকে $PR$-এর ওপর উচ্চতা একই। সুতরাং

   $\triangle PQT=\triangle RQT=\dfrac12\triangle PQR$ ......(১)

   আবার $\triangle PQT$-এ $TS$ মধ্যমা ($PS=SQ$)। $\triangle PST$ ও $\triangle QST$-এর ভূমি $PS=SQ$ এবং $T$ থেকে $PQ$-এর ওপর উচ্চতা একই। সুতরাং

   $\triangle PST=\dfrac12\triangle PQT$ ......(২)

   (১) ও (২) থেকে, $\triangle PST=\dfrac12\times\dfrac12\triangle PQR=\dfrac14\triangle PQR$। (প্রমাণিত)