উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int_{1}^{2} \ln(2x) \, dx$

   খণ্ডশ যোগজীকরণ (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করে,
   $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) dx$

   এখানে, $u = \ln(2x)$ এবং $v = 1$
   $\therefore \int \ln(2x) \, dx = \ln(2x) \cdot x - \int \left( \frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot x \right) dx$
   $= x \ln(2x) - \int 1 \, dx = x \ln(2x) - x$

   এখন নির্দিষ্ট যোগজের সীমা বসিয়ে পাই,
   $I = \left[ x \ln(2x) - x \right]_{1}^{2}$
   $= (2 \ln(4) - 2) - (1 \ln(2) - 1)$
   $= 2 \ln(2^2) - 2 - \ln 2 + 1$
   $= 4 \ln 2 - \ln 2 - 1$
   $= 3 \ln 2 - 1$ (বা $\ln 8 - 1$)

   উত্তর: $3 \ln 2 - 1$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\varphi(x) = \frac{x \cos x}{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \frac{x \cos x}{1 - \sin x}$

   [এখানে উদ্দীপকের $\varphi(x)$ কেই প্রশ্নে $p(x)$ হিসেবে নির্দেশ করা হয়েছে]

   উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}[\varphi(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{x \cos x}{1 - \sin x} \right)$

   ভাগফলের অন্তরীকরণ সূত্র প্রয়োগ করে,
   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

   এখানে,
   $\frac{d}{dx}(x \cos x) = 1 \cdot \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x \sin x$
   এবং
   $\frac{d}{dx}(1 - \sin x) = -\cos x$

   অতএব,
   $\frac{d}{dx}[\varphi(x)] = \frac{(1 - \sin x)(\cos x - x \sin x) - (x \cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{\cos x - x \sin x - \sin x \cos x + x \sin^2 x + x \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{\cos x - x \sin x - \sin x \cos x + x(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{\cos x - x \sin x - \sin x \cos x + x}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{x(1 - \sin x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{(x + \cos x)(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)^2}$
   $= \frac{x + \cos x}{1 - \sin x}$

   উত্তর: $\frac{x + \cos x}{1 - \sin x}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   $f(x, y) = 0 \implies x^3 - 2xy - y^3 - 3 = 0$

   উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}(x^3) - 2 \frac{d}{dx}(xy) - \frac{d}{dx}(y^3) - \frac{d}{dx}(3) = 0$
   $\implies 3x^2 - 2\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) - 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies 3x^2 - 2y - 2x \frac{dy}{dx} - 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies \frac{dy}{dx}(2x + 3y^2) = 3x^2 - 2y$
   $\implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2y}{2x + 3y^2}$

   অতএব, $(1, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,
   $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 1)} = \frac{3(1)^2 - 2(1)}{2(1) + 3(1)^2} = \frac{3 - 2}{2 + 3} = \frac{1}{5}$

   স্পর্শকের সমীকরণ:
   $(1, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
   $y - y_1 = m(x - x_1)$
   $\implies y - 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$
   $\implies 5(y - 1) = x - 1$
   $\implies 5y - 5 = x - 1$
   $\implies x - 5y + 4 = 0$

   অভিলম্বের সমীকরণ:
   $(1, 1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল $= -\frac{1}{m} = -5$
   অভিলম্বের সমীকরণ,
   $y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1)$
   $\implies y - 1 = -5(x - 1)$
   $\implies y - 1 = -5x + 5$
   $\implies 5x + y - 6 = 0$

   উত্তর: স্পর্শকের সমীকরণ $x - 5y + 4 = 0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ $5x + y - 6 = 0$।