উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ,
   $r^2 - 4r(\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta) + 15 = 0$
   বা, $r^2 - 4\sqrt{3}r\cos\theta + 4r\sin\theta + 15 = 0$
   আমরা জানি, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
   কার্তেসীয় আকারে রূপান্তর করে পাই,
   $x^2 + y^2 - 4\sqrt{3}x + 4y + 15 = 0$
   বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $2g = -4\sqrt{3} \implies g = -2\sqrt{3}$
   $2f = 4 \implies f = 2$
   অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f) = (2\sqrt{3}, -2)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্পের চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তটি $R(-1, 4)$, $S(4, 2)$ এবং $T(3, -4)$ বিন্দুগামী।

   মনে করি, বৃত্তটির সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \text{--- (i)}$

   (i) নং বৃত্তটি $R(-1, 4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $(-1)^2 + 4^2 + 2g(-1) + 2f(4) + c = 0$
   $\implies 17 - 2g + 8f + c = 0 \quad \text{--- (ii)}$

   বৃত্তটি $S(4, 2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $4^2 + 2^2 + 2g(4) + 2f(2) + c = 0$
   $\implies 20 + 8g + 4f + c = 0 \quad \text{--- (iii)}$

   বৃত্তটি $T(3, -4)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $3^2 + (-4)^2 + 2g(3) + 2f(-4) + c = 0$
   $\implies 25 + 6g - 8f + c = 0 \quad \text{--- (iv)}$

   সমীকরণ (ii) ও (iv) যোগ করে পাই,
   $42 + 4g + 2c = 0 \implies 2g + c = -21 \quad \text{--- (v)}$

   সমীকরণ (iv) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   $8 + 8g - 16f = 0 \implies g - 2f = -1 \implies g = 2f - 1 \quad \text{--- (vi)}$

   সমীকরণ (iii) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   $3 + 10g - 4f = 0 \quad \text{--- (vii)}$

   (vi) নং থেকে $g$-এর মান (vii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $3 + 10(2f - 1) - 4f = 0$
   $\implies 3 + 20f - 10 - 4f = 0$
   $\implies 16f - 7 = 0 \implies f = \frac{7}{16}$

   অতএব, $g = 2\left(\frac{7}{16}\right) - 1 = \frac{7}{8} - 1 = -\frac{1}{8}$

   (v) নং সমীকরণ হতে পাই,
   $c = -21 - 2g = -21 - 2\left(-\frac{1}{8}\right) = -21 + \frac{1}{4} = -\frac{83}{4}$

   $g, f, c$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $x^2 + y^2 + 2\left(-\frac{1}{8}\right)x + 2\left(\frac{7}{16}\right)y - \frac{83}{4} = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - \frac{1}{4}x + \frac{7}{8}y - \frac{83}{4} = 0$
   $\implies 8x^2 + 8y^2 - 2x + 7y - 166 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $8x^2 + 8y^2 - 2x + 7y - 166 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 = 4^2$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C(3, 4)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 4$।

   বহিস্থ বিন্দু $T(3, -4)$ হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
   $T(3, -4)$ বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - (-4) = m(x - 3)$
   $\implies mx - y - 3m - 4 = 0 \quad \text{--- (i)}$

   রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে কেন্দ্র $C(3, 4)$ থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের ($4$) সমান হবে।
   $\therefore \frac{|m(3) - 4 - 3m - 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 4$
   $\implies \frac{|-8|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$
   $\implies \frac{8}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$
   $\implies \sqrt{m^2 + 1} = 2$
   বর্গ করে পাই,
   $m^2 + 1 = 4$
   $\implies m^2 = 3 \implies m = \pm\sqrt{3}$

   $m$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   যখন $m = \sqrt{3}$:
   $\sqrt{3}x - y - 3\sqrt{3} - 4 = 0$
   যখন $m = -\sqrt{3}$:
   $-\sqrt{3}x - y + 3\sqrt{3} - 4 = 0 \implies \sqrt{3}x + y - 3\sqrt{3} + 4 = 0$

   অতএব, স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\sqrt{3}x - y - 3\sqrt{3} - 4 = 0$ এবং $\sqrt{3}x + y - 3\sqrt{3} + 4 = 0$