উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: f(θ)=cos⁡3θ,g(θ)=sin⁡θ. \mathbf{f}(\theta)=\cos ^{3} \theta, \mathbf{g}(\theta)=\sin \theta. দৃশ্যকল্প-২: x2+y2=36 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=36 .

  1. ক)

    ∫dx1+ex \int \frac{d x}{1+e^{x}} নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে নির্ণয় কর:(i) ∫0π/21+g(θ)dθ \int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{1+\mathrm{g}(\theta)} \mathrm{d} \theta ; (ii) ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d \theta

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, I=∫dx1+exI = \int \frac{dx}{1+e^x}
    লব ও হরকে e−xe^{-x} দ্বারা গুণ করে পাই,
    I=∫e−xe−x+1dxI = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} dx

    ধরি, e−x+1=ue^{-x} + 1 = u
      ⟹  −e−xdx=du  ⟹  e−xdx=−du\implies -e^{-x} dx = du \implies e^{-x} dx = -du

    ∴I=∫−duu=−ln⁡∣u∣+c=−ln⁡∣e−x+1∣+c\therefore I = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + c = -\ln|e^{-x} + 1| + c
    বা, I=−ln⁡∣1+exex∣+c=−ln⁡(1+ex)+ln⁡(ex)+c=x−ln⁡(1+ex)+cI = -\ln\left|\frac{1+e^x}{e^x}\right| + c = -\ln(1+e^x) + \ln(e^x) + c = x - \ln(1+e^x) + c (যেখানে cc সমাকলন ধ্রুবক)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    (i) ∫0π/21+g(θ)dθ=∫0π/21+sin⁡θdθ\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+g(\theta)} d\theta = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\sin\theta} d\theta
    =∫0π/2cos⁡2θ2+sin⁡2θ2+2sin⁡θ2cos⁡θ2dθ= \int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} d\theta
    =∫0π/2(cos⁡θ2+sin⁡θ2)2dθ= \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}\right)^2} d\theta
    যেহেতু 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, তাই cos⁡θ2+sin⁡θ2>0\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} > 0
    =∫0π/2(cos⁡θ2+sin⁡θ2)dθ= \int_0^{\pi/2} \left(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}\right) d\theta
    =[2sin⁡θ2−2cos⁡θ2]0π/2= \left[ 2\sin \frac{\theta}{2} - 2\cos \frac{\theta}{2} \right]_0^{\pi/2}
    =2[(sin⁡π4−cos⁡π4)−(sin⁡0−cos⁡0)]= 2\left[ \left(\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}\right) - (\sin 0 - \cos 0) \right]
    =2[(12−12)−(0−1)]=2(0+1)=2= 2\left[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (0 - 1) \right] = 2(0 + 1) = 2

    (ii) ∫0π/2f(θ)g(θ)3dθ=∫0π/2cos⁡3θ⋅(sin⁡θ)1/3dθ\int_0^{\pi/2} f(\theta) \sqrt[3]{g(\theta)} d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \cdot (\sin\theta)^{1/3} d\theta
    =∫0π/2cos⁡2θ⋅(sin⁡θ)1/3cos⁡θdθ= \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \cdot (\sin\theta)^{1/3} \cos\theta d\theta
    =∫0π/2(1−sin⁡2θ)(sin⁡θ)1/3cos⁡θdθ= \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2\theta) (\sin\theta)^{1/3} \cos\theta d\theta

    ধরি, z=sin⁡θ  ⟹  dz=cos⁡θdθz = \sin\theta \implies dz = \cos\theta d\theta
    সীমা: θ=0\theta = 0 হলে z=0z = 0; θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} হলে z=1z = 1

    ∴∫01(1−z2)z1/3dz=∫01(z1/3−z7/3)dz\therefore \int_0^1 (1 - z^2) z^{1/3} dz = \int_0^1 (z^{1/3} - z^{7/3}) dz
    =[z4/34/3−z10/310/3]01= \left[ \frac{z^{4/3}}{4/3} - \frac{z^{10/3}}{10/3} \right]_0^1
    =34(1)−310(1)=15−620=920= \frac{3}{4}(1) - \frac{3}{10}(1) = \frac{15 - 6}{20} = \frac{9}{20}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ: x2+y2=36=62x^2 + y^2 = 36 = 6^2
    এটি একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0)(0,0) এবং ব্যাসার্ধ r=6r = 6 একক।
    বৃত্তটি উভয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। সুতরাং সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১ম চতুর্ভাগে আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফলের ৪ গুণ।
    ১ম চতুর্ভাগে, y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} এবং xx এর সীমা 00 থেকে 66 পর্যন্ত।

    নির্ণেয় ক্ষেত্রফল A=4∫06y dx=4∫0662−x2 dxA = 4 \int_0^6 y \, dx = 4 \int_0^6 \sqrt{6^2 - x^2} \, dx

    আমরা জানি, ∫a2−x2 dx=x2a2−x2+a22sin⁡−1(xa)\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)

    ∴A=4[x236−x2+362sin⁡−1(x6)]06\therefore A = 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{36 - x^2} + \frac{36}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_0^6
    =4[(0+18sin⁡−1(1))−(0+18sin⁡−1(0))]= 4 \left[ \left(0 + 18\sin^{-1}(1)\right) - \left(0 + 18\sin^{-1}(0)\right) \right]
    =4[18×π2−0]= 4 \left[ 18 \times \frac{\pi}{2} - 0 \right]
    =4×9π=36π= 4 \times 9\pi = 36\pi বর্গ একক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন