গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\cos B+\cos^2B=1$ থেকে $\cos B=1-\cos^2B=\sin^2B$।

   $\sin^4B=(\sin^2B)^2=\cos^2B$

   $\therefore\sin^2B+\sin^4B=\sin^2B+\cos^2B=1$

   উত্তর: $1$

2. খ)

   $M=1+\cot A-\operatorname{cosec}A=1+\dfrac{\cos A}{\sin A}-\dfrac1{\sin A}=\dfrac{\sin A+\cos A-1}{\sin A}$

   $N=1+\tan A+\sec A=1+\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac1{\cos A}=\dfrac{\cos A+\sin A+1}{\cos A}$

   $\therefore MN=\dfrac{(\sin A+\cos A-1)(\sin A+\cos A+1)}{\sin A\cos A}=\dfrac{(\sin A+\cos A)^2-1}{\sin A\cos A}$

   $=\dfrac{\sin^2A+\cos^2A+2\sin A\cos A-1}{\sin A\cos A}=\dfrac{1+2\sin A\cos A-1}{\sin A\cos A}=2$

   $\therefore MN=2$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   ধরি, দালান $AB=15$ মিটার, খুঁটি $CD$ (পাদবিন্দু $C$, শীর্ষ $D$)। $A$ থেকে $C$-এর দিকে $60^\circ$ কোণে নামলে (দালানের শীর্ষ থেকে খুঁটির পাদবিন্দুর কোণ), $\angle ACB=60^\circ$। $A$ থেকে $D$-এর উন্নতি কোণ $30^\circ$।

   সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\tan60^\circ=\dfrac{AB}{BC}$, বা $BC=\dfrac{15}{\sqrt3}=5\sqrt3$ মিটার।

   $A$ বিন্দু থেকে খুঁটির ওপর লম্ব $AE$ টানি। $AE=BC=5\sqrt3$ এবং $\angle DAE=30^\circ$।

   $\tan30^\circ=\dfrac{DE}{AE}$, বা $DE=5\sqrt3\times\dfrac1{\sqrt3}=5$ মিটার।

   $\therefore$ খুঁটির উচ্চতা $CD=CE+DE=15+5=20$ মিটার ($CE=AB=15$)।

   উত্তর: $20$ মিটার