উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সঞ্চারপথের উপর যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক $P(x, y)$।
   দেওয়া আছে, $(1, 1)$ বিন্দু থেকে $P(x, y)$ বিন্দুর দূরত্ব সর্বদাই 5 একক।
   $\therefore \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 5$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$
   $\implies x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 25$
   $\implies x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$

   উত্তর: $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $L(2, -1)$ এবং $M(-3, 3)$।

   $LM$ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $\left( \frac{2 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, 1 \right)$

   $LM$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{3 - (-1)}{-3 - 2} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$

   যেহেতু লম্ব দ্বিখণ্ডকটি $LM$-এর উপর লম্ব, তাই এর ঢাল $m_2$ হলে,
   $m_1 \times m_2 = -1 \implies -\frac{4}{5} \times m_2 = -1 \implies m_2 = \frac{5}{4}$

   অতএব, $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{5}{4}$ ঢালবিশিষ্ট লম্ব দ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $y - 1 = \frac{5}{4}\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$
   $\implies y - 1 = \frac{5}{4}\left(x + \frac{1}{2}\right)$
   $\implies 4(y - 1) = 5x + \frac{5}{2}$
   $\implies 4y - 4 = \frac{10x + 5}{2}$
   $\implies 8y - 8 = 10x + 5$
   $\implies 10x - 8y + 13 = 0$

   উত্তর: $10x - 8y + 13 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত সরলরেখা: $2x - y + 1 = 0 \implies y = 2x + 1$
   যার ঢাল, $m_1 = 2$

   ধরি, $L(2, -1)$ বিন্দুগামী নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল $m$।
   অতএব, রেখাটির সমীকরণ: $y - (-1) = m(x - 2) \implies y + 1 = m(x - 2) \quad \dots (1)$

   শর্তানুসারে, রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$
   $\therefore \tan \theta = \frac{1}{3}$

   আমরা জানি,
   $\tan \theta = \pm \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}$
   $\implies \frac{1}{3} = \pm \frac{m - 2}{1 + 2m}$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $\frac{1}{3} = \frac{m - 2}{1 + 2m}$
   $\implies 1 + 2m = 3m - 6$
   $\implies m = 7$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $\frac{1}{3} = -\frac{m - 2}{1 + 2m}$
   $\implies 1 + 2m = -3m + 6$
   $\implies 5m = 5 \implies m = 1$

   এখন, $m$-এর মানগুলো (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   ১) যখন $m = 7$:
   $y + 1 = 7(x - 2) \implies y + 1 = 7x - 14 \implies 7x - y - 15 = 0$

   ২) যখন $m = 1$:
   $y + 1 = 1(x - 2) \implies y + 1 = x - 2 \implies x - y - 3 = 0$

   উত্তর: $7x - y - 15 = 0$ অথবা $x - y - 3 = 0$