উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^{2} x}{\sqrt{1-\cot ^{2} x}} d x$

   মনে করি, $\cot x = z$
   $\therefore -\operatorname{cosec}^2 x \, dx = dz \implies \operatorname{cosec}^2 x \, dx = -dz$

   অতএব,
   $I = \int \frac{-dz}{\sqrt{1-z^2}} = -\sin^{-1}(z) + c = -\sin^{-1}(\cot x) + c$ (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক) (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $F(z) = z \ln z$
   $\therefore F(x) = x \ln x$

   প্রদত্ত যোগজ:
   $I = \int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx$

   খণ্ডশ সমাকলন (Integration by parts) পদ্ধতিতে:
   $I = \left[ (\ln x) \int x \, dx \right]_{1}^{\sqrt{e}} - \int_{1}^{\sqrt{e}} \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int x \, dx \right) dx$
   $= \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{\sqrt{e}} - \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx$
   $= \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_{1}^{\sqrt{e}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\sqrt{e}} x \, dx$
   $= \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{\sqrt{e}}$

   সীমা বসিয়ে পাই,
   $I = \left( \frac{(\sqrt{e})^2}{2} \ln(\sqrt{e}) - \frac{(\sqrt{e})^2}{4} \right) - \left( \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} \right)$
   $= \left( \frac{e}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{e}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right)$
   $= \left( \frac{e}{4} - \frac{e}{4} \right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x, y) = 16x^2 + 25y^2 - 400$
   $\therefore g(x, y) = 0 \implies 16x^2 + 25y^2 = 400$
   বা, $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$, যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
   এখানে, $a = 5$ এবং $b = 4$।

   উপবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ মোট ক্ষেত্রফল $= \pi a b = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$ বর্গ একক।

   অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 20\pi = 10\pi$ বর্গ একক। (Ans.)