দুইটি সরলরেখা (−1,2) (-1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা 3x−y+7=0 3 x-y+7=0 রেখার সঙ্গে 45∘ 45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে । রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং তাদের সমীকরণ হতে দেখাও যে, তারা পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে।

Question

Accepted Answer

গ. 2x+y=0,x−2y+5=02 x+y=0, x-2 y+5=0

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রেখা: $3x - y + 7 = 0 \implies y = 3x + 7$, যার ঢাল $m_1 = 3$।
ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$।
যেহেতু রেখাটি প্রদত্ত রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে:
$	an 45^\circ = \left| \frac{m - 3}{1 + 3m} ight|$
$\implies 1 = \pm \frac{m - 3}{1 + 3m}$

(+) চিহ্ন নিয়ে:
$1 + 3m = m - 3 \implies 2m = -4 \implies m = -2$
(-) চিহ্ন নিয়ে:
$1 + 3m = -(m - 3) = -m + 3 \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$

$(-1, 2)$ বিন্দুগামী রেখা দুইটির সমীকরণ:
১) ঢাল $m = -2$ হলে:
$y - 2 = -2(x + 1) \implies 2x + y = 0$

২) ঢাল $m = \frac{1}{2}$ হলে:
$y - 2 = \frac{1}{2}(x + 1) \implies 2y - 4 = x + 1 \implies x - 2y + 5 = 0$

এখানে ঢালদ্বয়ের গুণফল $m_1 	imes m_2 = (-2) 	imes \left(\frac{1}{2}ight) = -1$, যা প্রমাণ করে রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব।

গণিত প্রশ্ন