পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের গড় শূন্য (০) এবং পরিমিত ব্যবধান বা ভেদাঙ্ক এক (১), তাকে আদর্শ পরিমিত চলক বলা হয়। একে সাধারণত $Z$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরিমিত বিন্যাস একটি অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাস এবং $Z$ একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

   যেকোনো অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট কোনো একটি বিন্দুতে সম্ভাবনার মান শূন্য হয়, অর্থাৎ $P(Z = c) = 0$। কারণ অবিচ্ছিন্ন চলকের সম্ভাবনা ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে (ক্ষেত্রফল হিসেবে) পরিমাপ করা হয়; কোনো একক নির্দিষ্ট বিন্দুতে ক্ষেত্রফল বা বিস্তার শূন্য ($dz = 0$) হয়। তাই পরিমিত বিন্যাসে $P(Z = 30) = 0$ (বা যেকোনো একক মানের ক্ষেত্রে সম্ভাবনা শূন্য)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   প্রতি প্যাকেটে মিষ্টির সংখ্যা, $n = 50$
   একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 2\% = 0.02$

   যেহেতু $n$ তুলনামূলকভাবে বড় এবং $p$ খুব ক্ষুদ্র, তাই খারাপ মিষ্টির সংখ্যা $X$ একটি পয়সন বিন্যাস মেনে চলে, যার পরামিতি:
   $\lambda = np = 50 \times 0.02 = 1$

   পয়সন বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$; $x = 0, 1, 2, \dots$

   অতএব, প্রতি প্যাকেটে ৪টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা:
   $P(X = 4) = \frac{e^{-1} \cdot 1^4}{4!} = \frac{e^{-1}}{24} = \frac{0.36788}{24} \approx 0.0153$

   [বিকল্পভাবে, দ্বিপদী বিন্যাস দ্বারা:
   $P(X = 4) = \binom{50}{4} (0.02)^4 (0.98)^{46} \approx 230300 \times 1.6 \times 10^{-7} \times 0.3951 \approx 0.0146$]

   সুতরাং, প্রতি প্যাকেটে ৪টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা প্রায় $0.0153$ (বা দ্বিপদী বিন্যাসে প্রায় $0.0146$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দোকানীর বক্তব্য: "বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা ৩৭০টির বেশি হবে না।"

   উদ্দীপক অনুসারে, মোট প্যাকেটের সংখ্যা $N = 500$
   পয়সন পরামিতি, $\lambda = 1$

   একটি প্যাকেটে বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা:
   $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$

   এখানে,
   $P(X = 0) = \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = e^{-1} \approx 0.36788$
   $P(X = 1) = \frac{e^{-1} \cdot 1^1}{1!} = e^{-1} \approx 0.36788$

   অতএব,
   $P(X \le 1) = 0.36788 + 0.36788 = 0.73576$

   সুতরাং, ৫০০টি প্যাকেটের মধ্যে বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্রত্যাশিত প্যাকেটের সংখ্যা:
   $E = N \times P(X \le 1) = 500 \times 0.73576 \approx 367.88 \approx 368$ টি।

   [দ্বিপদী বিন্যাস ব্যবহার করলেও:
   $P(X \le 1) = (0.98)^{50} + 50(0.02)(0.98)^{49} \approx 0.36417 + 0.37160 = 0.73577$
   প্রত্যাশিত প্যাকেট সংখ্যা $= 500 \times 0.73577 \approx 367.89 \approx 368$ টি]

   গণনাকৃত প্যাকেটের সংখ্যা (৩৬৮টি), যা ৩৭০টির চেয়ে কম, অর্থাৎ ৩৭০টির বেশি নয়।
   অতএব, দোকানীর বক্তব্যের সাথে আমি একমত।