উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $a + ib = e^{i\theta}$
   অয়লারের সূত্রানুসারে, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
   অতএব, $a + ib = \cos\theta + i\sin\theta$
   উভয়পক্ষের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
   $a = \cos\theta$ এবং $b = \sin\theta$

   এখন, $a^2 + b^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
   $\therefore a^2 + b^2 = 1$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে, $z = 32 + i$
   অতএব, $\bar{z} = 32 - i$
   তাহলে, $z + \bar{z} = (32 + i) + (32 - i) = 64$

   এখন, $64$ এর ঘনমূল নির্ণয় করতে হবে।
   ধরি, $x = (64)^{\frac{1}{3}}$
   $\Rightarrow x^3 = 64$
   $\Rightarrow x^3 - 4^3 = 0$
   $\Rightarrow (x - 4)(x^2 + 4x + 16) = 0$

   হয়, $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
   নতুবা, $x^2 + 4x + 16 = 0$
   $\Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 4\left(\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\right)$
   আমরা জানি, $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ এবং $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$
   সুতরাং, $x = 4\omega, 4\omega^2$

   অতএব, $z + \bar{z}$ এর ঘনমূলগুলো হলো $4, 4\omega, 4\omega^2$ (বা $4, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $(m^2 + n^2)x^2 + 2(mp + nq)x + (p^2 + q^2) = 0$

   সমীকরণটির নিশ্চায়ক (Discriminant), $D = [2(mp + nq)]^2 - 4(m^2 + n^2)(p^2 + q^2)$
   $= 4[(mp + nq)^2 - (m^2 + n^2)(p^2 + q^2)]$
   $= 4[m^2p^2 + 2mnpq + n^2q^2 - (m^2p^2 + m^2q^2 + n^2p^2 + n^2q^2)]$
   $= 4[2mnpq - m^2q^2 - n^2p^2]$
   $= -4[m^2q^2 - 2mnpq + n^2p^2]$
   $= -4(mq - np)^2$

   যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, সেহেতু নিশ্চায়ক $D \ge 0$ হতে হবে।
   কিন্তু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য $(mq - np)^2 \ge 0$, যার ফলে $-4(mq - np)^2 \le 0$ হয়।
   অতএব, মূলদ্বয় বাস্তব হতে হলে অবশ্যই $D = 0$ হতে হবে।
   আর নিশ্চায়ক শূন্য ($D = 0$) হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
   সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব হলে তারা সমান হবে। (দেখানো হলো)

   সমান মূলগুলো নির্ণয়:
   $D = 0 \Rightarrow -4(mq - np)^2 = 0 \Rightarrow mq - np = 0 \Rightarrow mq = np$

   আমরা জানি, $D = 0$ হলে দ্বিঘাত সমীকরণ $Ax^2 + Bx + C = 0$ এর মূলদ্বয় হয় $x = -\frac{B}{2A}$।
   অতএব, সমান মূল $x = -\frac{2(mp + nq)}{2(m^2 + n^2)} = -\frac{mp + nq}{m^2 + n^2}$

   যেহেতু $mq = np$, তাই $p = \frac{mq}{n}$ বসিয়ে পাই:
   $x = -\frac{m\left(\frac{mq}{n}\right) + nq}{m^2 + n^2} = -\frac{\frac{m^2q + n^2q}{n}}{m^2 + n^2} = -\frac{q(m^2 + n^2)}{n(m^2 + n^2)} = -\frac{q}{n}$
   (অথবা $q = \frac{np}{m}$ বসালে পাই $x = -\frac{p}{m}$)

   অতএব, সমান মূলগুলো হলো $-\frac{p}{m}, -\frac{p}{m}$ (বা $-\frac{q}{n}, -\frac{q}{n}$)।