পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী ভেক্টর বা অবস্থান ভেক্টরকে ল্যামডার ভেক্টর (বা ল্যাম্বডা ভেক্টর) বলা হয়। তবে সাধারণ পাঠ্যবই অনুসারে, একই রেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়াশীল কোনো ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক রূপ নির্দেশকারী ভেক্টরকেও ল্যামডার ভেক্টর বলা হয়ে থাকে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $y$ ও $z$ অক্ষ বরাবর ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর দুটি যথাক্রমে $\hat{j}$ ও $\hat{k}$।
   ভেক্টর গুণের ডানহাতি কর্ক-স্ক্রু নিয়ম এবং চক্রক্রমীয় নিয়ম অনুসারে:
   $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$
   যেহেতু $\hat{i}$ ধনাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর, তাই $-\hat{i}$ হলো ঋণাত্মক $x$-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর।
   এর মান, $|\hat{k} \times \hat{j}| = |-\hat{i}| = 1$।
   যেহেতু $\hat{k} \times \hat{j}$ এর মান ১ (একক), তাই এটি একটি একক ভেক্টর।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, নৌকার নিজস্ব বেগ $v$ এবং স্রোতের বেগ $u$।
   শর্তমতে,
   স্রোতের অনুকূলে বেগ, $v + u = 15\text{ km h}^{-1}$ ... (i)
   স্রোতের প্রতিকূলে বেগ, $v - u = 5\text{ km h}^{-1}$ ... (ii)

   সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   $2v = 20 \implies v = 10\text{ km h}^{-1}$
   এবং সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   $2u = 10 \implies u = 5\text{ km h}^{-1}$

   মাঝি নদীর এক পারের $A$ বিন্দু হতে সোজা অপর পারের $B$ বিন্দুতে পৌঁছাতে চায়। অর্থাৎ লব্ধি বেগ নদী পারের সাথে উল্লম্ব বা স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে থাকতে হবে।
   ধরি, মাঝি স্রোতের দিকের সাথে $\alpha$ কোণে নৌকা চালিয়েছিল।
   লব্ধির দিক $\theta = 90^\circ$ হওয়ায়,
   $\tan 90^\circ = \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha}$
   $\implies \frac{1}{0} = \frac{v \sin \alpha}{u + v \cos \alpha}$
   $\implies u + v \cos \alpha = 0$
   $\implies \cos \alpha = -\frac{u}{v} = -\frac{5}{10} = -0.5$
   $\implies \alpha = \cos^{-1}(-0.5) = 120^\circ$

   অতএব, মাঝি স্রোতের দিকের সাথে $120^\circ$ কোণে যাত্রা শুরু করেছিল।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মাঝির $A$ হতে সোজা অপর পাড়ের $B$ বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য উল্লম্ব বেগ বা নদী পারাপারের বেগ घटक:
   $v_y = v \sin \alpha = 10 \sin 120^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ km h}^{-1} \approx 8.66\text{ km h}^{-1}$

   নদীর প্রস্থ, $d = 5\text{ km}$
   সুতরাং, মাঝির $B$ বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়:
   $t_1 = \frac{d}{v_y} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\text{ h} \approx 0.577\text{ h} \approx 34.64\text{ মিনিট}$

   অপরদিকে, $C$ বিন্দু থেকে অপর ব্যক্তিটি $B$ বিন্দুর দিকে $v_2 = 4\text{ km h}^{-1}$ সুষম বেগে অগ্রসর হচ্ছে।
   $B$ ও $C$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব, $s = 5\text{ km}$
   উক্ত ব্যক্তির $C$ হতে $B$ বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময়:
   $t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{5}{4}\text{ h} = 1.25\text{ h} = 75\text{ মিনিট}$

   যেহেতু $t_1 \neq t_2$ (মাঝি প্রায় ৩৫ মিনিটে $B$-তে পৌঁছে যায় এবং অপর ব্যক্তিটি $B$-তে পৌঁছাতে ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট সময় নেয়), তাই মাঝি যখন $B$ বিন্দুতে পৌঁছায়, তখন অপর ব্যক্তি $B$ বিন্দুতে পৌঁছাতে পারেনি। মাঝি $B$ বিন্দুতে পৌঁছানোর মুহূর্তে অপর ব্যক্তিটি $C$ থেকে $4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2.31\text{ km}$ দূরে থাকে, অর্থাৎ সে তখনও পথে রয়েছে।
   যদি মাঝি $B$ বিন্দুতে অপেক্ষা না করে, তবে মাঝির $B$ বিন্দুতে পৌঁছানোর মুহূর্তে তাদের সাক্ষাৎ হবে না।