উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত যোগজ,
   $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} \, dx$
   আমরা জানি, $1 + \sin \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{4} + \sin^2 \frac{x}{4} + 2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4} = \left(\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}\right)^2$

   $\therefore I = \int \left(\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}\right) dx$
   $= \frac{\sin \frac{x}{4}}{\frac{1}{4}} - \frac{\cos \frac{x}{4}}{\frac{1}{4}} + C$
   $= 4\left(\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}\right) + C$
   (যেখানে $C$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = x^2 - 4x + 5$
   $\therefore I = \int_{2}^{3} \frac{1}{y} dx = \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 4x + 5} dx$
   $= \int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2)^2 + 1} dx$
   ধরি, $x - 2 = t \implies dx = dt$
   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 2$, তখন $t = 0$
   যখন $x = 3$, তখন $t = 1$

   $\therefore I = \int_{0}^{1} \frac{1}{t^2 + 1^2} dt = [\tan^{-1} t]_0^1$
   $= \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$
   নির্ণেয় মান: $\frac{\pi}{4}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   বক্ররেখা: $y = x^2 - 4x + 5$ ..... (1)
   সরলরেখা: $y = x + 1$ ..... (2)

   ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   (1) ও (2) হতে পাই,
   $x^2 - 4x + 5 = x + 1$
   $\implies x^2 - 5x + 4 = 0$
   $\implies (x - 1)(x - 4) = 0$
   $\therefore x = 1, 4$

   $x = 1$ থেকে $x = 4$ ব্যবধিতে সরলরেখাটি বক্ররেখার উপরে অবস্থান করে, কারণ $x = 2$ বসালে সরলরেখার $y = 3$ এবং বক্ররেখার $y = 1$।

   অতএব, নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{1}^{4} (y_{\text{line}} - y_{\text{curve}}) \, dx$
   $= \int_{1}^{4} [(x + 1) - (x^2 - 4x + 5)] \, dx$
   $= \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx$
   $= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4}$
   $= \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
   $= \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
   $= \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{-2 + 15 - 24}{6} \right)$
   $= \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16 + 11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{9}{2}$ বা $4.5$ বর্গ একক।