উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=sin⁡−1x,g(x)=cos⁡x f(x) = \sin^{-1}x, g(x) = \cos x

  1. ক)

    সমাধান কর: tan⁡2θtan⁡θ=1 \tan 2\theta \tan \theta = 1

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, f(2g(π2−θ))+f(g(2θ))=π2 f\left(\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) + f(\sqrt{g(2\theta)}) = \frac{\pi}{2}

    (4)
  3. গ)

    সমাধান কর: g(x)+3g′(x)=2 g(x) + \sqrt{3}g'(x) = \sqrt{2} , যখন −π<x<π -\pi < x < \pi

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    tan⁡2θtan⁡θ=1\tan 2\theta \tan \theta = 1
      ⟹  sin⁡2θsin⁡θcos⁡2θcos⁡θ=1\implies \frac{\sin 2\theta \sin \theta}{\cos 2\theta \cos \theta} = 1
      ⟹  cos⁡2θcos⁡θ−sin⁡2θsin⁡θ=0\implies \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta = 0
      ⟹  cos⁡(2θ+θ)=0\implies \cos(2\theta + \theta) = 0
      ⟹  cos⁡3θ=0\implies \cos 3\theta = 0
      ⟹  3θ=(2n+1)π2\implies 3\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}
    ∴θ=(2n+1)π6\therefore \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{6}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡−1xf(x) = \sin^{-1}x এবং g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x।
    তাহলে,
    g(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θg\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta
    অতএব,
    f(2g(π2−θ))=f(2sin⁡θ)=sin⁡−1(2sin⁡θ)f\left(\sqrt{2}g\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) = f(\sqrt{2}\sin\theta) = \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta)
    এবং
    f(g(2θ))=f(cos⁡2θ)=sin⁡−1(cos⁡2θ)f(\sqrt{g(2\theta)}) = f(\sqrt{\cos 2\theta}) = \sin^{-1}(\sqrt{\cos 2\theta})

    বামপক্ষ =sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1(cos⁡2θ)= \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) + \sin^{-1}(\sqrt{\cos 2\theta})
    ধরি, sin⁡−1(cos⁡2θ)=ϕ  ⟹  sin⁡ϕ=cos⁡2θ\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2\theta}) = \phi \implies \sin\phi = \sqrt{\cos 2\theta}
    ∴cos⁡ϕ=1−sin⁡2ϕ=1−cos⁡2θ=2sin⁡2θ=2sin⁡θ\therefore \cos\phi = \sqrt{1 - \sin^2\phi} = \sqrt{1 - \cos 2\theta} = \sqrt{2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sin\theta
    অতএব, 2sin⁡θ=cos⁡ϕ=sin⁡(π2−ϕ)\sqrt{2}\sin\theta = \cos\phi = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right)
      ⟹  sin⁡−1(2sin⁡θ)=π2−ϕ\implies \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) = \frac{\pi}{2} - \phi

    সুতরাং,
    বামপক্ষ =(π2−ϕ)+ϕ=π2== \left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) + \phi = \frac{\pi}{2} = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x
    ∴g′(x)=−sin⁡x\therefore g'(x) = -\sin x
    প্রদত্ত সমীকরণ:
    g(x)+3g′(x)=2g(x) + \sqrt{3}g'(x) = \sqrt{2}
      ⟹  cos⁡x−3sin⁡x=2\implies \cos x - \sqrt{3}\sin x = \sqrt{2}
    উভয়পক্ষকে 22 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    12cos⁡x−32sin⁡x=22\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
      ⟹  cos⁡xcos⁡π3−sin⁡xsin⁡π3=12\implies \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}
      ⟹  cos⁡(x+π3)=cos⁡π4\implies \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}
      ⟹  x+π3=2nπ±π4\implies x + \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}
      ⟹  x=2nπ±π4−π3\implies x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}

    এখন প্রদত্ত ব্যবধি −π<x<π-\pi < x < \pi এর জন্য:
    n=0n = 0 হলে,
    x=π4−π3=−π12∈(−π,π)x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} \in (-\pi, \pi)
    x=−π4−π3=−7π12∈(−π,π)x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = -\frac{7\pi}{12} \in (-\pi, \pi)

    n=1n = 1 হলে,
    x=2π+π4−π3>πx = 2\pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} > \pi
    x=2π−π4−π3=17π12>πx = 2\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{17\pi}{12} > \pi

    n=−1n = -1 হলে,
    x=−2π±π4−π3<−πx = -2\pi \pm \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} < -\pi

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x=−π12,−7π12x = -\frac{\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন