দৃশ্যকল্প-১: ∠P+∠Q=∠R angle P+angle Q=angle R দৃশ্যকল্প…

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২২

দৃশ্যকল্প-১: ∠P+∠Q=∠R \angle \mathbf{P}+\angle \mathbf{Q}=\angle \mathbf{R} দৃশ্যকল্প-২:

ক)
প্রমাণ কর যে, sin⁡θ+sin⁡(120∘+θ)+sin⁡(240∘+θ)=0 \sin \theta+\sin \left(120^{\circ}+\theta\right)+\sin \left(240^{\circ}+\theta\right)=0
(1)
খ)
দৃশ্যকশ্প-১ এর সাহায্যে দেখাও যে, cos⁡2P3+cos⁡2Q3+cos⁡2R3=1+2cos⁡P3cos⁡Q3cos⁡R3 \cos ^{2} \frac{\mathrm{P}}{3}+\cos ^{2} \frac{\mathrm{Q}}{3}+\cos ^{2} \frac{\mathrm{R}}{3}=1+2 \cos \frac{\mathrm{P}}{3} \cos \frac{\mathrm{Q}}{3} \cos \frac{\mathrm{R}}{3}
(2)
গ)
দৃশ্যকল্প-২ এর সাহায্যে ∠C \angle \mathrm{C} এর মান নির্ণয় কর। অতঃপর দেখাও যে,অতিভুজটির ক্ষেত্রফল 34 \frac{\sqrt{3}}{4} বর্গ একক।
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বামপক্ষ $= \sin\theta + \sin(120^\circ + \theta) + \sin(240^\circ + \theta) = \sin\theta + 2\sin(180^\circ+\theta)\cos(60^\circ) = \sin\theta - \sin\theta = 0 = \text{ডানপক্ষ}$ (প্রমাণিত)।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $P + Q = R$ বা $\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{R}{3}$ ।
বামপক্ষ $= \cos^2\frac{P}{3} + \cos^2\frac{Q}{3} + \cos^2\frac{R}{3} = 1 + \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2P}{3} + \cos\frac{2Q}{3}\right) + \cos^2\frac{R}{3} = 1 + \cos\frac{R}{3}\cos\frac{P-Q}{3} + \cos^2\frac{R}{3} = 1 + \cos\frac{R}{3}\left(\cos\frac{P-Q}{3} + \cos\frac{P+Q}{3}\right) = 1 + 2\cos\frac{P}{3}\cos\frac{Q}{3}\cos\frac{R}{3} = \text{ডানপক্ষ}$ (দেখানো হলো)।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ত্রিভুজ $ABC$ -তে বাহুত্রয় $a = \sqrt{2}+1$ , $b = \sqrt{2}-1$ , $c = \sqrt{5}$ ।
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2+(\sqrt{2}-1)^2-5}{2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{6-5}{2} = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ \implies \angle C = 60^\circ$ ।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(2-1)\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}$ বর্গ একক (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও