পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে দৈব পরীক্ষার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে—একটি সাফল্য এবং অন্যটি ব্যর্থতা—তাকে বার্নোলি ট্রায়াল বা বার্নোলি চেষ্টা বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি দ্বিপদী বিন্যাসের গড় 4 এবং ভেদাঙ্ক 6 হওয়া সম্ভব নয়।
   দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমরা জানি, গড় $E(X) = np$ এবং ভেদাঙ্ক $V(X) = npq$, যেখানে $n$ হলো চেষ্টার সংখ্যা, $p$ হলো সাফল্যের সম্ভাবনা এবং $q = 1 - p$ হলো ব্যর্থতার সম্ভাবনা।
   যেহেতু $0 < p < 1$, তাই $0 < q < 1$ হয়। ফলে ভেদাঙ্ক $npq = np(q) < np$ (অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সর্বদা গড়ের চেয়ে ছোট হয়)।
   এখানে প্রদত্ত গড় = 4 এবং ভেদাঙ্ক = 6, যার ফলে $q = \frac{npq}{np} = \frac{6}{4} = 1.5 > 1$, যা সম্ভাবনার নিয়মের পরিপন্থী। সুতরাং, গড় 4 এবং ভেদাঙ্ক 6 হওয়া সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ইকোনো কোম্পানির উৎপাদিত ত্রুটিপূর্ণ কলমের সংখ্যা $X$, যা দ্বিপদী বিন্যাস মেনে চলে।
   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি হলো $n$ এবং $p$।
   দেওয়া আছে,
   গড়, $np = 1.5$ ...(i)
   ভেদাঙ্ক, $npq = 1.125$ ...(ii)

   সমীকরণ (ii)-কে সমীকরণ (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $q = \frac{npq}{np} = \frac{1.125}{1.5} = 0.75$
   অতএব, $p = 1 - q = 1 - 0.75 = 0.25$

   এখন সমীকরণ (i)-এ $p$-এর মান বসিয়ে পাই,
   $n(0.25) = 1.5$
   বা, $n = \frac{1.5}{0.25} = 6$

   অতএব, দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো:
   $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$
   $P(X = x) = {}^6C_x (0.25)^x (0.75)^{6-x}$; যেখানে $x = 0, 1, 2, \dots, 6$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প ২ অনুযায়ী, প্রতিটি প্যাকেটে সরবরাহকৃত বাল্ব সংখ্যা, $n = 10$
   বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 20\% = 0.20$
   ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.20 = 0.80$
   মোট ক্রয়কৃত প্যাকেট সংখ্যা, $N = 1000$

   ধরি, একটি প্যাকেটে ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা $X$, যা একটি দ্বিপদী চলক।
   একটি প্যাকেটে ঠিক ২টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব থাকার সম্ভাবনা:
   $P(X = 2) = {}^{10}C_2 (0.2)^2 (0.8)^{10-2}$
   $= 45 \times 0.04 \times (0.8)^8$
   $= 1.8 \times 0.16777216 \approx 0.30199$

   অতএব, 1000টি প্যাকেটের মধ্যে ঠিক ২টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব থাকা প্যাকেটের প্রত্যাশিত সংখ্যা:
   $E = N \times P(X = 2) = 1000 \times 0.30199 \approx 302$টি।

   মি. আরশাদের বন্ধুর মন্তব্য ছিল যে অর্ধেক প্যাকেটে (অর্থাৎ $1000 \times 0.5 = 500$টি প্যাকেটে) দুটি করে ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব আছে।
   যেহেতু প্রত্যাশিত প্যাকেটের সংখ্যা প্রায় 302টি, যা 500-এর সমান নয়, সেহেতু মি. আরশাদের বন্ধুর মন্তব্যটি সঠিক নয়।