উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $|2x - 7| > 5$
   বা, $2x - 7 > 5$ অথবা $2x - 7 < -5$

   যদি $2x - 7 > 5$ হয়,
   $2x > 12$
   $\Rightarrow x > 6$

   যদি $2x - 7 < -5$ হয়,
   $2x < 2$
   $\Rightarrow x < 1$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x < 1$ অথবা $x > 6$ (বা $x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty)$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $2x^2 + 5x < 0$ (যেখানে $x \in \mathbb{R}$)
   $\Rightarrow x(2x + 5) < 0$
   $\Rightarrow x(x + \frac{5}{2}) < 0$

   যেহেতু গুণফল ঋণাত্মক, তাই মানদ্বয় মূল দুটির মধ্যবর্তী হবে:
   $-\frac{5}{2} < x < 0$

   সীমা দুইটির গড় = $\frac{-\frac{5}{2} + 0}{2} = -\frac{5}{4}$
   অসমতার প্রতিটি পদ থেকে $-\frac{5}{4}$ বিয়োগ করে (অর্থাৎ $\frac{5}{4}$ যোগ করে) পাই:
   $-\frac{5}{2} + \frac{5}{4} < x + \frac{5}{4} < 0 + \frac{5}{4}$
   $\Rightarrow -\frac{5}{4} < x + \frac{5}{4} < \frac{5}{4}$

   পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করে পাই:
   $\left|x + \frac{5}{4}\right| < \frac{5}{4}$ বা $|4x + 5| < 5$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 - x$
   শর্তমতে, $f(x) \leq 0$
   $\Rightarrow x^2 - x \leq 0$
   $\Rightarrow x(x - 1) \leq 0$

   এখানে রাশিটির মান শূন্য হয় $x = 0$ এবং $x = 1$ বিন্দুতে। এই বিন্দু দুটি বাস্তব সংখ্যা রেখাকে তিনটি ব্যবধিতে বিভক্ত করে: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ এবং $(1, \infty)$।

   ১. $x < 0$ হলে, $x$ ঋণাত্মক এবং $(x - 1)$ ঋণাত্মক; সুতরাং $x(x - 1) > 0$।
   ২. $0 \leq x \leq 1$ হলে, $x \geq 0$ এবং $(x - 1) \leq 0$; সুতরাং $x(x - 1) \leq 0$।
   ৩. $x > 1$ হলে, $x$ ধনাত্মক এবং $(x - 1)$ ধনাত্মক; সুতরাং $x(x - 1) > 0$।

   অতএব, $f(x) \leq 0$ এর সমাধান হলো: $0 \leq x \leq 1$ বা $[0, 1]$।

   সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:
   সংখ্যারেখায় $0$ এবং $1$ বিন্দু দুটিকে ভরাট বৃত্ত (solid circle) দ্বারা চিহ্নিত করে তাদের মধ্যবর্তী অংশকে গাঢ় রেখা দ্বারা যুক্ত করা হলো:
   <---|======[0]==================[1]======|--->