ক) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
যানবাহন যেন বাঁকা পথে নিরাপদে নির্বিঘ্নে মোড় নিতে পারে, সেজন্য রাস্তার ভেতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাইরের প্রান্তকে কিছুটা উঁচু করে তৈরি করাকে রাস্তার ব্যাংকিং বলে।
খ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে ক্রিয়াশীল থেকে যদি একটি ত্রিভুজের ক্রমানুসারে গৃহীত তিনটি বাহু দ্বারা মান ও অভিমুখে সূচিত হয়, তবে তাদের লব্ধি শূন্য হয়।
অন্যভাবে বলা যায়, যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান যদি তৃতীয় ভেক্টরটির মানের সমান এবং দিক বিপরীতমুখী হয়, তবে তিনটি ভেক্টরের সামগ্রিক লব্ধি শূন্য হবে।
গ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:A ⃗ = 2 i ^ + 2 j ^ − k ^ \vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} A = 2 i ^ + 2 j ^ − k ^ B ⃗ = 6 i ^ − 3 j ^ + 2 k ^ \vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} B = 6 i ^ − 3 j ^ + 2 k ^
A ⃗ \vec{A} A B ⃗ \vec{B} B A ⃗ × B ⃗ \vec{A} \times \vec{B} A × B A ⃗ × B ⃗ = ∣ i ^ j ^ k ^ 2 2 − 1 6 − 3 2 ∣ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix} A × B = i ^ 2 6 j ^ 2 − 3 k ^ − 1 2 = i ^ ( 4 − 3 ) − j ^ ( 4 − ( − 6 ) ) + k ^ ( − 6 − 12 ) = \hat{i}(4 - 3) - \hat{j}(4 - (-6)) + \hat{k}(-6 - 12) = i ^ ( 4 − 3 ) − j ^ ( 4 − ( − 6 )) + k ^ ( − 6 − 12 ) = 1 i ^ − 10 j ^ − 18 k ^ = 1\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k} = 1 i ^ − 10 j ^ − 18 k ^
এর মান,∣ A ⃗ × B ⃗ ∣ = 1 2 + ( − 10 ) 2 + ( − 18 ) 2 = 1 + 100 + 324 = 425 = 5 17 |\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} ∣ A × B ∣ = 1 2 + ( − 10 ) 2 + ( − 18 ) 2 = 1 + 100 + 324 = 425 = 5 17
অতএব, A ⃗ \vec{A} A B ⃗ \vec{B} B η ^ = ± A ⃗ × B ⃗ ∣ A ⃗ × B ⃗ ∣ = ± i ^ − 10 j ^ − 18 k ^ 425 = ± 1 5 17 ( i ^ − 10 j ^ − 18 k ^ ) \hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \pm \frac{\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}}{\sqrt{425}} = \pm \frac{1}{5\sqrt{17}}(\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}) η ^ = ± ∣ A × B ∣ A × B = ± 425 i ^ − 10 j ^ − 18 k ^ = ± 5 17 1 ( i ^ − 10 j ^ − 18 k ^ )
ঘ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র C ⃗ \vec{C} C ∇ ⃗ × C ⃗ = 0 ⃗ \vec{\nabla} \times \vec{C} = \vec{0} ∇ × C = 0
উদ্দীপকে প্রদত্ত:C ⃗ = ( 6 x y + z 3 ) i ^ − ( 3 x 2 − z ) j ^ + ( 3 x z 2 − y ) k ^ \vec{C} = (6xy + z^3)\hat{i} - (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k} C = ( 6 x y + z 3 ) i ^ − ( 3 x 2 − z ) j ^ + ( 3 x z 2 − y ) k ^
এখন, ∇ ⃗ × C ⃗ \vec{\nabla} \times \vec{C} ∇ × C ∇ ⃗ × C ⃗ = ∣ i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 6 x y + z 3 − ( 3 x 2 − z ) 3 x z 2 − y ∣ \vec{\nabla} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & -(3x^2-z) & 3xz^2-y \end{vmatrix} ∇ × C = i ^ ∂ x ∂ 6 x y + z 3 j ^ ∂ y ∂ − ( 3 x 2 − z ) k ^ ∂ z ∂ 3 x z 2 − y
= i ^ [ ∂ ∂ y ( 3 x z 2 − y ) − ∂ ∂ z ( − ( 3 x 2 − z ) ) ] = \hat{i}\left[\frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(-(3x^2 - z))\right] = i ^ [ ∂ y ∂ ( 3 x z 2 − y ) − ∂ z ∂ ( − ( 3 x 2 − z )) ] − j ^ [ ∂ ∂ x ( 3 x z 2 − y ) − ∂ ∂ z ( 6 x y + z 3 ) ] - \hat{j}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy + z^3)\right] − j ^ [ ∂ x ∂ ( 3 x z 2 − y ) − ∂ z ∂ ( 6 x y + z 3 ) ] + k ^ [ ∂ ∂ x ( − ( 3 x 2 − z ) ) − ∂ ∂ y ( 6 x y + z 3 ) ] + \hat{k}\left[\frac{\partial}{\partial x}(-(3x^2 - z)) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy + z^3)\right] + k ^ [ ∂ x ∂ ( − ( 3 x 2 − z )) − ∂ y ∂ ( 6 x y + z 3 ) ]
আংশিক ব্যবকলন করে পাই:= i ^ [ − 1 − ( 1 ) ] − j ^ [ 3 z 2 − 3 z 2 ] + k ^ [ − 6 x − 6 x ] = \hat{i}[-1 - (1)] - \hat{j}[3z^2 - 3z^2] + \hat{k}[-6x - 6x] = i ^ [ − 1 − ( 1 )] − j ^ [ 3 z 2 − 3 z 2 ] + k ^ [ − 6 x − 6 x ] = − 2 i ^ − 0 j ^ − 12 x k ^ = -2\hat{i} - 0\hat{j} - 12x\hat{k} = − 2 i ^ − 0 j ^ − 12 x k ^ = − 2 i ^ − 12 x k ^ = -2\hat{i} - 12x\hat{k} = − 2 i ^ − 12 x k ^
যেহেতু ∇ ⃗ × C ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{\nabla} \times \vec{C} \neq \vec{0} ∇ × C = 0
সুতরাং, উদ্দীপকের C ⃗ \vec{C} C