উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখার সমীকরণ: $2x + 5y + 6 = 0$
   $2x + 5y + 6 = 0$ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $5x - 2y + k = 0$

   যেহেতু রেখাটি মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায়, তাই:
   $5(0) - 2(0) + k = 0 \implies k = 0$

   অতএব, নির্ণেয় রেখার সমীকরণ: $5x - 2y = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রিকশার চাকার সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$
   বা, $(x - 1)^2 + y^2 = 1 + 1 = 2 = (\sqrt{2})^2$
   সুতরাং, চাকাটির (বৃত্তের) কেন্দ্র $C = (1, 0)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{2}$।

   প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $x + y + 1 = 0$
   বৃত্তের কেন্দ্র $(1, 0)$ থেকে $x + y + 1 = 0$ রেখার লম্ব-দূরত্ব:
   $d = \frac{|1(1) + 1(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

   যেহেতু কেন্দ্র থেকে সরলরেখাটির লম্ব-দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান ($d = r$), সেহেতু $x + y + 1 = 0$ রেখাটি রিকশাটির চাকার একটি স্পর্শক (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রিকশার চাকার কেন্দ্র $(1, 0)$।
   ধরি, $x$-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ [যেহেতু কেন্দ্র $x$-অক্ষে অবস্থিত, তাই $y$-স্থানাঙ্ক বা $f = 0$]

   বৃত্তটি $(1, 0)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $1^2 + 0^2 + 2g(1) + c = 0$
   $\implies 1 + 2g + c = 0 \quad \text{--- (i)}$

   আবার, বৃত্তটি $(3, 0)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $3^2 + 0^2 + 2g(3) + c = 0$
   $\implies 9 + 6g + c = 0 \quad \text{--- (ii)}$

   সমীকরণ (ii) থেকে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই:
   $(9 - 1) + (6g - 2g) = 0$
   $\implies 8 + 4g = 0 \implies 4g = -8 \implies g = -2$

   $g = -2$ সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই:
   $1 + 2(-2) + c = 0 \implies 1 - 4 + c = 0 \implies c = 3$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2(-2)x + 3 = 0$
   বা, $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$।