পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান এক একক, তাকে একক ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান সর্বনিম্ন বা শূন্য হতে হলে ভেক্টরদ্বয়কে পরস্পর বিপরীতমুখী (মধ্যবর্তী কোণ ১৮০°) হতে হয় এবং তাদের মান সমান হতে হয়। লব্ধির মান R = |P - Q|। যদি ভেক্টর দুটির মান অসমান হয়, অর্থাৎ P ≠ Q হয়, তবে |P - Q| কখনো শূন্য হতে পারে না। সর্বদা একটি নির্দিষ্ট অশূন্য মান বিদ্যমান থাকে। তাই দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি কখনো শূন্য হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   মূলবিন্দু O(0, 0) এবং A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 2)।
   সুতরাং, $\vec{OA} = (1 - 0)\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} = \hat{i} + 2\hat{j}$

   $\vec{OA}$ ভেক্টরের মান, $|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

   ধরি, $\vec{OA}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\beta$ কোণ উৎপন্ন করে।
   আমরা জানি,
   $\cos\beta = \frac{A_y}{|\vec{OA}|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
   বা, $\beta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx \cos^{-1}(0.8944) \approx 26.57^\circ$

   অতএব, $\vec{OA}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে প্রায় $26.57^\circ$ কোণ উৎপন্ন করবে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী,
   $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j}$
   এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1) হওয়ায়,
   $\vec{OB} = 2\hat{i} - \hat{j}$

   দুটি অশূন্য ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণন (স্কেলার গুণন) শূন্য হবে।

   এখন, $\vec{OA}$ ও $\vec{OB}$-এর ডট গুণন নির্ণয় করি:
   $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j})$
   $= (1 \times 2) + (2 \times (-1))$
   $= 2 - 2$
   $= 0$

   যেহেতু $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$, সেহেতু উদ্দীপকের $\vec{OA}$ এবং $\vec{OB}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।