পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট বা স্থির করা থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর (বা আবদ্ধ ভেক্টর) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   স্ফেরোমিটারের বৃত্তাকার স্কেলের মাত্র এক ভাগ ঘুরালে এর রৈখিক স্কেল বরাবর স্ক্রুটি যেটুকু দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে এর লঘিষ্ঠ ধ্রুবক বলে। স্ফেরোমিটারের লঘিষ্ঠ ধ্রুবক 0.01 mm বলতে বোঝায়, স্ফেরোমিটারটির বৃত্তাকার স্কেল মাত্র ১ দাগ বা এক ভাগ ঘুরালে এর স্ক্রুটি রৈখিক স্কেল বরাবর 0.01 mm দূরত্ব অতিক্রম করে এবং এর সাহায্যে সর্বনিম্ন 0.01 mm পর্যন্ত দৈর্ঘ্য সঠিকভাবে পরিমাপ করা সম্ভব।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর:
   $\vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{Q} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

   $\vec{P}$ এর ওপর $\vec{Q}$ ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ,
   $Q_\parallel = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}|}$

   এখন,
   $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1) = -2 + 2 - 1 = -1$
   $|\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

   অতএব, অভিক্ষেপের মান (দৈর্ঘ্য হিসেবে পরম মান):
   $|Q_\parallel| = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408$
   (বীজগাণিতিক মান $-\frac{1}{\sqrt{6}}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   P, Q এবং R বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
   $\vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{Q} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{R} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$

   বিন্দুত্রয়ের ক্রম সংযোজন দ্বারা গঠিত ভেক্টরসমূহ:
   $\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (-2 - 1)\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
   $\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = (3 - (-2))\hat{i} + (1 - 1)\hat{j} + (-2 - 1)\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$
   $\vec{RP} = \vec{P} - \vec{R} = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 1)\hat{j} + (-1 - (-2))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
   (উল্লেখ্য, $\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RP} = \vec{0}$, যা একটি ত্রিভুজ গঠন করে)

   বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের বর্গ:
   $|\vec{PQ}|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
   $|\vec{QR}|^2 = 5^2 + 0^2 + (-3)^2 = 25 + 0 + 9 = 34$
   $|\vec{RP}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$

   পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
   $|\vec{PQ}|^2 + |\vec{RP}|^2 = 14 + 6 = 20 \neq 34$ ($|\vec{QR}|^2$)

   অপরদিকে, ভেক্টরগুলোর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে ডট গুণন পরীক্ষা করি:
   $\vec{PQ} \cdot \vec{RP} = (-3)(-2) + (-1)(1) + (2)(1) = 6 - 1 + 2 = 7 \neq 0$
   $\vec{PQ} \cdot \vec{QR} = (-3)(5) + (-1)(0) + (2)(-3) = -15 + 0 - 6 = -21 \neq 0$
   $\vec{QR} \cdot \vec{RP} = (5)(-2) + (0)(1) + (-3)(1) = -10 + 0 - 3 = -13 \neq 0$

   যেহেতু বাহুগুলোর মধ্যবর্তী কোনো কোণ সমকোণ ($90^\circ$) নয় এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ হয় না, তাই গঠিত ক্ষেত্রটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না।