উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B$
   দেওয়া আছে, $a = 2.5$, $c = 3.5$ এবং $B = 30^{\circ}$
   $\therefore \Delta = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 3.5 \times \sin 30^{\circ}$
   $= \frac{1}{2} \times 8.75 \times \frac{1}{2}$
   $= \frac{8.75}{4} = 2.1875$ বা $\frac{35}{16}$ বর্গ একক। (উত্তর)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $m\sin \alpha + n\sin \beta = P$ .... (i)
   এবং $m\cos \alpha + n\cos \beta = P$ .... (ii)

   (i) ও (ii) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
   $(m\sin \alpha + n\sin \beta)^2 + (m\cos \alpha + n\cos \beta)^2 = P^2 + P^2$
   $\Rightarrow m^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + n^2(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2mn(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2P^2$
   $\Rightarrow m^2(1) + n^2(1) + 2mn\cos(\alpha - \beta) = 2P^2$
   $\Rightarrow 2mn\cos(\alpha - \beta) = 2P^2 - m^2 - n^2$
   $\Rightarrow 2mn(2\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} - 1) = 2P^2 - m^2 - n^2$
   $\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} - 2mn = 2P^2 - m^2 - n^2$
   $\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - m^2 - n^2 + 2mn$
   $\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - (m^2 - 2mn + n^2)$
   $\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - (m - n)^2$
   $\Rightarrow \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{2P^2 - (m - n)^2}{4mn}$
   $\therefore \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \pm \sqrt{\frac{2P^2 - (m - n)^2}{4mn}}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ থেকে পাই,
   $\sin x + \sin y = 2\sin(x + y)$
   $\Rightarrow 2\sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} = 2 \cdot 2\sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x + y}{2}$

   যেহেতু $x + y \neq 0$, তাই $\sin \frac{x + y}{2} \neq 0$।
   উভয়পক্ষকে $2\sin \frac{x + y}{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\cos \frac{x - y}{2} = 2\cos \frac{x + y}{2}$
   $\Rightarrow \frac{\cos \frac{x - y}{2}}{\cos \frac{x + y}{2}} = \frac{2}{1}$

   বিয়োজন-যোজন করে পাই,
   $\frac{\cos \frac{x - y}{2} - \cos \frac{x + y}{2}}{\cos \frac{x - y}{2} + \cos \frac{x + y}{2}} = \frac{2 - 1}{2 + 1}$
   $\Rightarrow \frac{2\sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}}{2\cos \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2}} = \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow \tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{y}{2} = \frac{1}{3}$ (দেখানো হলো)