গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$9x^2 + 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$
$\implies 9(x^2 + 8x) + 16(y^2 - 2y) = 16$
$\implies 9(x^2 + 8x + 16) + 16(y^2 - 2y + 1) = 16 + 144 + 16$
$\implies 9(x + 4)^2 + 16(y - 1)^2 = 176$
$\implies \frac{(x + 4)^2}{\frac{176}{9}} + \frac{(y - 1)^2}{11} = 1$

যেহেতু সমীকরণটি $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের, যেখানে $X = x + 4, Y = y - 1$ এবং $a^2 > b^2$:
$a^2 = \frac{176}{9} \implies a = \frac{4\sqrt{11}}{3}$
$b^2 = 11 \implies b = \sqrt{11}$

১. বক্ররেখাটির প্রকৃতি: উপবৃত্ত (Ellipse)

২. উৎকেন্দ্রিকতা ($e$):
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{11}{\frac{176}{9}}} = \sqrt{1 - \frac{99}{176}} = \sqrt{\frac{77}{176}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

৩. কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
$X = 0, Y = 0 \implies x + 4 = 0, y - 1 = 0$
$\therefore$ কেন্দ্র: $(-4, 1)$

৪. উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
$X = \pm ae, Y = 0$
$ae = \frac{4\sqrt{11}}{3} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{77}}{3}$
$\implies x + 4 = \pm \frac{\sqrt{77}}{3} \implies x = -4 \pm \frac{\sqrt{77}}{3}$
এবং $y - 1 = 0 \implies y = 1$
$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $\left(-4 \pm \frac{\sqrt{77}}{3}, 1\right)$

৫. নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ:
$X = \pm \frac{a}{e}$
$\implies x + 4 = \pm \frac{\frac{4\sqrt{11}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \pm \frac{16\sqrt{11}}{3\sqrt{7}}$
$\implies 3\sqrt{7}(x + 4) = \pm 16\sqrt{11}$

৬. নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 11}{\frac{4\sqrt{11}}{3}} = \frac{33}{2\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{2}$ একক।