পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন বা স্পন্দনশীল কোনো কণার যেকোনো মুহূর্তের গতির সামগ্রিক অবস্থা—অর্থাৎ এর সরণ, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদির মান ও দিক নির্দেশক রাশিকে তার দশা (Phase) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি দোলক ঘড়ির দোলনকাল 2.5 s হলে এটি সঠিক সময় দেবে না; বরং ঘড়িটি ধীরে চলবে (slow যাবে)।

   একটি সঠিক সময় প্রদানকারী দোলক ঘড়ি হলো সেকেন্ড দোলক, যার দোলনকাল হয় ঠিক 2 s। অর্থাৎ, প্রতি সেকেন্ডে এটি একটি করে অর্ধ-দোলন সম্পন্ন করে টিক দেয় এবং একটি আদর্শ দিনে (86400 সেকেন্ডে) মোট 43200 বার পূর্ণ দোলন দেয়।

   কিন্তু আলোচ্য ঘড়িটির দোলনকাল 2.5 s, যা প্রমাণ মান 2 s-এর চেয়ে বেশি। দোলনকাল বৃদ্ধি পেলে দোলকের গতি মন্থর হয়ে যায়। ফলে দিনে এটি প্রয়োজনীয় সংখ্যক দোলন সম্পন্ন করতে পারবে না:
   দিনে সম্পন্ন দোলন সংখ্যা = $\frac{86400}{2.5} = 34560$
   ঘড়িটি সময় নির্দেশ করবে = $34560 \times 2 = 69120\text{ s}$
   সুতরাং, ঘড়িটি প্রতিদিন $(86400 - 69120) = 17280\text{ s}$ বা $4.8\text{ ঘণ্টা}$ সময় হারাবে বা পিছিয়ে পড়বে। তাই ঘড়িটি সঠিক সময় দেবে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই,
   ববের ব্যাস, $d = 1\text{ cm} \implies$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{1}{2}\text{ cm} = 0.5\text{ cm} = 0.005\text{ m}$
   সুতার দৈর্ঘ্য, $l = 99.5\text{ cm} = 0.995\text{ m}$
   দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য, $L = l + r = 0.995 + 0.005 = 1.0\text{ m}$
   কৌণিক বিস্তার, $\theta_0 = 4^\circ = 4 \times \frac{\pi}{180}\text{ rad} \approx 0.06981\text{ rad}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   দোলকটির কৌণিক কম্পাঙ্ক,
   $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{9.8}{1.0}} \approx 3.1305\text{ rad/s}$

   দোলকের ববের কৌণিক সরণের সমীকরণ $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$ বিবেচনা করলে,
   কৌণিক বেগ, $\Omega = \frac{d\theta}{dt} = -\omega \theta_0 \sin(\omega t)$

   অতএব, ববটির সর্বোচ্চ কৌণিক বেগ (সাম্যাবস্থানে):
   $\Omega_{\text{max}} = \omega \theta_0$
   $= 3.1305\text{ rad/s} \times 0.06981\text{ rad}$
   $\approx 0.2185\text{ rad/s}$

   [বিকল্পভাবে, সর্বোচ্চ রৈখিক বেগ $v_{\text{max}} = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.0 \times (1 - \cos 4^\circ)} \approx 0.2185\text{ m/s}$।
   সুতরাং সর্বোচ্চ কৌণিক বেগ $\Omega_{\text{max}} = \frac{v_{\text{max}}}{L} = \frac{0.2185}{1.0} = 0.2185\text{ rad/s}$।
   উল্লেখ্য, সরল ছন্দিত স্পন্দনের কৌণিক কম্পাঙ্ককে সরাসরি কৌণিক বেগ বিবেচনা করা হলে $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} = 3.13\text{ rad/s}$।]

   উত্তর: ববটির সর্বোচ্চ কৌণিক বেগ $0.2185\text{ rad/s}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সাম্যাবস্থান অতিক্রম করার সময় ববের বেগ সম্পূর্ণ অনুভূমিক থাকে। এই মুহূর্তে সুতা ছিঁড়ে গেলে ববটি একটি অনুভূমিক প্রাসের (Horizontal Projectile) ন্যায় গতি লাভ করবে।

   'গ' হতে পাই,
   সাম্যাবস্থানে ববের সর্বোচ্চ অনুভূমিক বেগ, $v_x = v_{\text{max}} = 0.2185\text{ m/s}$
   উলম্ব দিকে আদি বেগ, $v_{0y} = 0$
   সাম্যাবস্থানে ভূমি হতে ববের উচ্চতা, $h = 1\text{ m}$
   ঝুড়ির অনুভূমিক দূরত্ব, $x_{\text{target}} = 2\text{ m}$

   ববটি উল্লম্বভাবে মুক্তভাবে পড়ে ভূমিতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে,
   $h = \frac{1}{2} g t^2$
   $\implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1}{9.8}} \approx 0.4518\text{ s}$

   এই সময়ে ববটির অতিক্রান্ত অনুভূমিক দূরত্ব,
   $x = v_x \times t$
   $= 0.2185\text{ m/s} \times 0.4518\text{ s}$
   $\approx 0.0987\text{ m} \approx 9.87\text{ cm}$

   (যদি চিত্রে নির্দেশিত ঝুড়ির উচ্চতা $0.15\text{ m}$ বিবেচনা করা হয়, তবে কার্যকর উলম্ব পতন $h' = 1 - 0.15 = 0.85\text{ m}$। সেক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় সময় $t' = \sqrt{\frac{2 \times 0.85}{9.8}} \approx 0.4165\text{ s}$ এবং অতিক্রান্ত অনুভূমিক দূরত্ব $x' = 0.2185 \times 0.4165 \approx 0.091\text{ m} = 9.1\text{ cm}$)।

   অপরদিকে, ববটিকে অনুভূমিকভাবে $2\text{ m}$ দূরে অবস্থিত ঝুড়িতে পৌঁছাতে হলে প্রয়োজনীয় সময় হতো:
   $t_{\text{req}} = \frac{x_{\text{target}}}{v_x} = \frac{2}{0.2185} \approx 9.15\text{ s}$
   কিন্তু $9.15\text{ s}$ সময়ে ববটির উলম্ব পতন হতো $y = \frac{1}{2} g t_{\text{req}}^2 \approx \frac{1}{2} \times 9.8 \times (9.15)^2 \approx 410.2\text{ m}$, অথচ ববটি ভূমি থেকে মাত্র $1\text{ m}$ উচ্চতায় রয়েছে।

   দেখা যাচ্ছে যে, সুতা ছিঁড়ে যাওয়ার পর ববটি সাম্যাবস্থান থেকে মাত্র প্রায় $9.87\text{ cm}$ অনুভূমিক দূরত্ব অতিক্রম করেই মাটিতে পড়ে যাবে, যা ঝুড়ির অবস্থান ($2\text{ m}$) অপেক্ষা অত্যন্ত কম।

   সুতরাং, ববটির ঝুড়িতে পড়ার কোনো সম্ভাবনা নেই।