উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বুলেটের আদিবেগ $u$ এবং তক্তার প্রতিরোধকারী ত্বরণ (মন্দন) $f$।
   ৩ সেমি প্রবেশের পর বেগ অর্ধেক হয়, অর্থাৎ বেগ $v = \frac{u}{2}$।
   আমরা জানি, $v^2 = u^2 - 2fs$
   $\Rightarrow \left(\frac{u}{2}\right)^2 = u^2 - 2f(3)$
   $\Rightarrow 6f = u^2 - \frac{u^2}{4} = \frac{3u^2}{4}$
   $\Rightarrow f = \frac{u^2}{8}$

   ধরি, বুলেটটি থেমে যাওয়ার পূর্বে আরও $x$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।
   তাহলে শেষবেগ $0$ এবং মোট সরণ $(3 + x)$।
   $0 = u^2 - 2f(3 + x)$
   $\Rightarrow 2 \cdot \frac{u^2}{8} \cdot (3 + x) = u^2$
   $\Rightarrow \frac{3 + x}{4} = 1$
   $\Rightarrow 3 + x = 4$
   $\Rightarrow x = 1\text{ cm}$

   অতএব, বুলেটটি তক্তার ভিতর আর $1\text{ cm}$ ঢুকবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কণাটির আদিবেগ $u$ এবং সমত্বরণ $f$।
   প্রথম $t_1$ সময়ে $d$ দূরত্ব অতিক্রম করে:
   $d = u t_1 + \frac{1}{2} f t_1^2 \implies \frac{d}{t_1} = u + \frac{1}{2} f t_1$ ... (1)

   পরবর্তী $t_2$ সময়ে $4d$ দূরত্ব অতিক্রম করে, অর্থাৎ প্রথম থেকে $(t_1 + t_2)$ সময়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $(d + 4d) = 5d$:
   $5d = u (t_1 + t_2) + \frac{1}{2} f (t_1 + t_2)^2$
   (2) নং থেকে (1) বিয়োগ করে পাই:
   $4d = u t_2 + \frac{1}{2} f (t_2^2 + 2t_1 t_2) \implies \frac{4d}{t_2} = u + f t_1 + \frac{1}{2} f t_2$ ... (2)

   আবার পরবর্তী $t_3$ সময়ে $7d$ দূরত্ব অতিক্রম করে, অর্থাৎ মোট $(t_1 + t_2 + t_3)$ সময়ে মোট দূরত্ব $(5d + 7d) = 12d$:
   $12d = u(t_1 + t_2 + t_3) + \frac{1}{2} f (t_1 + t_2 + t_3)^2$
   $\implies \frac{12d}{t_1 + t_2 + t_3} = u + \frac{1}{2} f (t_1 + t_2 + t_3)$ ... (3)

   অনুরূপভাবে, শেষ অংশের জন্য:
   $\frac{7d}{t_3} = u + f(t_1 + t_2) + \frac{1}{2} f t_3$ ... (4)

   এখন, বামপক্ষ:
   $\frac{d}{t_1} - \frac{4d}{t_2} + \frac{7d}{t_3}$
   $= \left(u + \frac{1}{2} f t_1\right) - \left(u + f t_1 + \frac{1}{2} f t_2\right) + \left(u + f t_1 + f t_2 + \frac{1}{2} f t_3\right)$
   $= u + \frac{1}{2} f (t_1 + t_2 + t_3)$
   $= \frac{12d}{t_1 + t_2 + t_3}$ [(3) নং হতে]

   উভয়পক্ষকে $d$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
   $\frac{1}{t_1} - \frac{4}{t_2} + \frac{7}{t_3} = \frac{12}{t_1 + t_2 + t_3}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা $h$ মিটার।
   প্রথম পাথরটি শীর্ষবিন্দু থেকে স্থির অবস্থা ($u=0$) হতে ফেলা হয়।
   পাথরটি $4\text{ m}$ নিচে নামতে প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে:
   $4 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{8}{g} \implies t_1 = \sqrt{\frac{8}{g}}$

   প্রথম পাথরটির মাটিতে পৌঁছাতে মোট সময় $T$ হলে:
   $h = \frac{1}{2} g T^2 \implies T = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

   দ্বিতীয় পাথরটিকে শীর্ষবিন্দু থেকে $16\text{ m}$ নিচে কোনো বিন্দু থেকে ফেলা হয়।
   অতএব, দ্বিতীয় পাথরের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব = $(h - 16)\text{ m}$।
   যেহেতু দ্বিতীয় পাথরটি স্থির অবস্থা থেকে ফেলা হয় এবং প্রথম পাথরটি $4\text{ m}$ অতিক্রম করার পর ফেলা হয়, তাই দ্বিতীয় পাথরটির পতনকাল:
   $t_2 = T - t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} - \sqrt{\frac{8}{g}}$

   দ্বিতীয় পাথরের গতির সমীকরণ:
   $h - 16 = \frac{1}{2} g t_2^2$
   $\implies h - 16 = \frac{1}{2} g \left(\sqrt{\frac{2h}{g}} - \sqrt{\frac{8}{g}}\right)^2$
   $\implies h - 16 = \frac{1}{2} g \cdot \frac{1}{g} \left(\sqrt{2h} - \sqrt{8}\right)^2$
   $\implies h - 16 = \frac{1}{2} \left(2h - 2\sqrt{16h} + 8\right)$
   $\implies h - 16 = h - 4\sqrt{h} + 4$
   $\implies -16 = -4\sqrt{h} + 4$
   $\implies 4\sqrt{h} = 20$
   $\implies \sqrt{h} = 5$
   $\implies h = 25$

   অতএব, টাওয়ারের উচ্চতা $25\text{ m}$।