গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sin(60^\circ-\alpha)=\dfrac12=\sin30^\circ$

   বা, $60^\circ-\alpha=30^\circ$, তাই $\alpha=30^\circ$।

   $\sec\alpha=\sec30^\circ=\dfrac2{\sqrt3}$।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $\sec A+\tan A=\dfrac53$ ...(i)

   $\sec^2A-\tan^2A=1$ থেকে $\sec A-\tan A=\dfrac35$ ...(ii)

   (i) $+$ (ii): $2\sec A=\dfrac{25+9}{15}=\dfrac{34}{15}$, তাই $\sec A=\dfrac{17}{15}$, অর্থাৎ $\cos A=\dfrac{15}{17}$

   (i) $-$ (ii): $2\tan A=\dfrac{25-9}{15}=\dfrac{16}{15}$, তাই $\tan A=\dfrac8{15}$

   $\sin A=\tan A\cos A=\dfrac8{15}\times\dfrac{15}{17}=\dfrac8{17}$

   $\sin A+\cos A=\dfrac8{17}+\dfrac{15}{17}=\dfrac{23}{17}$।

3. গ)

   দেওয়া আছে, $\sin\theta+\cos\theta=p$ এবং $2p-1=\sqrt3$, তাই $p=\dfrac{1+\sqrt3}2$।

   উভয়পক্ষ বর্গ করে, $1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{(1+\sqrt3)^2}4=\dfrac{4+2\sqrt3}4=1+\dfrac{\sqrt3}2$

   বা, $\sin2\theta=\dfrac{\sqrt3}2$

   বা, $2\theta=60^\circ$ অথবা $120^\circ$ ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ বলে $0^\circ<2\theta<180^\circ$)

   অতএব $\theta=30^\circ$ অথবা $60^\circ$।

   যাচাই: $\theta=30^\circ$ হলে $\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2=p$ ✓; $\theta=60^\circ$ হলেও $\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12=p$ ✓।

   সুতরাং, $\theta=\mathbf{30^\circ}$ অথবা $\mathbf{60^\circ}$।