উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: △ABC \triangle \mathrm{ABC} এর A=75∘,B−C=15∘ \mathrm{A}=75^{\circ}, \mathrm{B}-\mathrm{C}=15^{\circ}

  1. ক)

    cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡149∘28′sin⁡29∘28′ \cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime} এর মান কত?

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী দেখাও যে, cos⁡C6=122+2+3 \cos \frac{C}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি,
    = cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡149∘28′sin⁡29∘28′\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime} - \sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}
    =cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡(180∘−30∘32′)sin⁡29∘28′= \cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime} - \sin (180^{\circ} - 30^{\circ} 32^{\prime}) \sin 29^{\circ} 28^{\prime}
    =cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡30∘32′sin⁡29∘28′= \cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime} - \sin 30^{\circ} 32^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}
    =cos⁡(30∘32′+29∘28′)= \cos (30^{\circ} 32^{\prime} + 29^{\circ} 28^{\prime})
    =cos⁡60∘= \cos 60^{\circ}
    =12= \frac{1}{2} (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী,
    △ABC\triangle ABC-এ A=75∘A = 75^{\circ}
    আমরা জানি, A+B+C=180∘A + B + C = 180^{\circ}
    ⇒B+C=180∘−75∘=105∘\Rightarrow B + C = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} ... (i)
    এবং দেওয়া আছে, B−C=15∘B - C = 15^{\circ} ... (ii)

    সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
    2C=90∘2C = 90^{\circ}
    ⇒C=45∘\Rightarrow C = 45^{\circ}

    অতএব, C6=45∘6=15∘2=7.5∘\frac{C}{6} = \frac{45^{\circ}}{6} = \frac{15^{\circ}}{2} = 7.5^{\circ}

    এখন,
    2cos⁡215∘=1+cos⁡30∘=1+32=2+322 \cos^2 15^{\circ} = 1 + \cos 30^{\circ} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
    ⇒4cos⁡215∘=2+3\Rightarrow 4 \cos^2 15^{\circ} = 2 + \sqrt{3}
    ⇒2cos⁡15∘=2+3\Rightarrow 2 \cos 15^{\circ} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} [যেহেতু 15∘15^{\circ} প্রথম চতুর্ভাগে ধনাত্মক]

    আবার,
    2cos⁡2C6=2cos⁡27.5∘=1+cos⁡15∘2 \cos^2 \frac{C}{6} = 2 \cos^2 7.5^{\circ} = 1 + \cos 15^{\circ}
    ⇒4cos⁡2C6=2+2cos⁡15∘\Rightarrow 4 \cos^2 \frac{C}{6} = 2 + 2 \cos 15^{\circ}
    ⇒4cos⁡2C6=2+2+3\Rightarrow 4 \cos^2 \frac{C}{6} = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}
    ⇒cos⁡2C6=14(2+2+3)\Rightarrow \cos^2 \frac{C}{6} = \frac{1}{4} \left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)
    ⇒cos⁡C6=122+2+3\Rightarrow \cos \frac{C}{6} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} [যেহেতু 7.5∘7.5^{\circ} সূক্ষ্মকোণ, মান ধনাত্মক]
    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র অনুযায়ী,
    a=3+1a = \sqrt{3} + 1, b=3−1b = \sqrt{3} - 1 এবং কোণ C=60∘C = 60^{\circ}।

    কোসাইনের সূত্র প্রয়োগ করে:
    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
    =(3+1)2+(3−1)2−2(3+1)(3−1)cos⁡60∘= (\sqrt{3} + 1)^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) \cos 60^{\circ}
    =2((3)2+12)−2(3−1)⋅12= 2\left((\sqrt{3})^2 + 1^2\right) - 2(3 - 1) \cdot \frac{1}{2}
    =2(3+1)−2= 2(3 + 1) - 2
    =8−2=6= 8 - 2 = 6
    ∴c=6\therefore c = \sqrt{6}

    ট্যানজেন্টের সূত্র প্রয়োগ করে:
    tan⁡A−B2=a−ba+bcot⁡C2\tan \frac{A - B}{2} = \frac{a - b}{a + b} \cot \frac{C}{2}
    ⇒tan⁡A−B2=(3+1)−(3−1)(3+1)+(3−1)cot⁡30∘\Rightarrow \tan \frac{A - B}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)} \cot 30^{\circ}
    ⇒tan⁡A−B2=223⋅3=1\Rightarrow \tan \frac{A - B}{2} = \frac{2}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1
    ⇒A−B2=45∘\Rightarrow \frac{A - B}{2} = 45^{\circ}
    ⇒A−B=90∘\Rightarrow A - B = 90^{\circ} ... (i)

    আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ}:
    A+B=180∘−C=180∘−60∘=120∘A + B = 180^{\circ} - C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} ... (ii)

    (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
    2A=210∘⇒A=105∘2A = 210^{\circ} \Rightarrow A = 105^{\circ}

    (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
    2B=30∘⇒B=15∘2B = 30^{\circ} \Rightarrow B = 15^{\circ}

    সুতরাং, ত্রিভুজটির সমাধান:
    c=6c = \sqrt{6}, A=105∘A = 105^{\circ} এবং B=15∘B = 15^{\circ}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন