উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: f(θ)=cos⁡θ f(\theta)=\cos \theta .

  1. ক)

    প্রমাণ কর: 12cos⁡−1x=cos⁡−11+x2 \frac{1}{2} \cos ^{-1} x=\cos ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} .

    (1)
  2. খ)

    P=f(π2−θ) P=f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) এবং Q=f(2θ) Q=f(2 \theta) হলে প্রমাণ কর যে, sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=π2 \sin ^{-1}(\sqrt{2}P )+\sin ^{-1} \sqrt{Q}=\frac{\pi}{2} .

    (2)
  3. গ)

    সমাধান কর: 4f(θ)f(2θ)f(3θ)=1 4 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1 , যখন 0∘<θ<π 0^{\circ} < \theta < \pi .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, cos⁡−1x=2θ\cos^{-1} x = 2\theta
    বা, x=cos⁡2θx = \cos 2\theta
    বা, 1+x=1+cos⁡2θ1 + x = 1 + \cos 2\theta
    বা, 1+x=2cos⁡2θ1 + x = 2\cos^2 \theta
    বা, cos⁡2θ=1+x2\cos^2 \theta = \frac{1+x}{2}
    বা, cos⁡θ=1+x2\cos \theta = \sqrt{\frac{1+x}{2}}
    বা, θ=cos⁡−11+x2\theta = \cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}}
    বা, 12cos⁡−1x=cos⁡−11+x2\frac{1}{2} \cos^{-1} x = \cos^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{2}} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta) = \cos\theta
    ∴P=f(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\therefore P = f\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta
    এবং Q=f(2θ)=cos⁡(2θ)Q = f(2\theta) = \cos(2\theta)

    বামপক্ষ =sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q= \sin^{-1}(\sqrt{2}P) + \sin^{-1}\sqrt{Q}
    =sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1cos⁡2θ= \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) + \sin^{-1}\sqrt{\cos 2\theta}

    ধরি, A=sin⁡−1cos⁡2θA = \sin^{-1}\sqrt{\cos 2\theta}
      ⟹  sin⁡A=cos⁡2θ\implies \sin A = \sqrt{\cos 2\theta}
      ⟹  cos⁡A=1−sin⁡2A=1−cos⁡2θ=2sin⁡2θ=2sin⁡θ\implies \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \cos 2\theta} = \sqrt{2\sin^2\theta} = \sqrt{2}\sin\theta
      ⟹  A=cos⁡−1(2sin⁡θ)\implies A = \cos^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta)

    অতএব,
    sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=sin⁡−1(2sin⁡θ)+cos⁡−1(2sin⁡θ)\sin^{-1}(\sqrt{2}P) + \sin^{-1}\sqrt{Q} = \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) + \cos^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta)
    আমরা জানি, sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}
    ∴sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=π2\therefore \sin^{-1}(\sqrt{2}P) + \sin^{-1}\sqrt{Q} = \frac{\pi}{2} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    4f(θ)f(2θ)f(3θ)=14 f(\theta) f(2\theta) f(3\theta) = 1
    বা, 4cos⁡θcos⁡2θcos⁡3θ=14 \cos\theta \cos 2\theta \cos 3\theta = 1
    বা, 2(2cos⁡3θcos⁡θ)cos⁡2θ=12(2\cos 3\theta \cos\theta) \cos 2\theta = 1
    বা, 2(cos⁡4θ+cos⁡2θ)cos⁡2θ=12(\cos 4\theta + \cos 2\theta) \cos 2\theta = 1
    বা, 2cos⁡4θcos⁡2θ+2cos⁡22θ=12\cos 4\theta \cos 2\theta + 2\cos^2 2\theta = 1
    বা, 2cos⁡4θcos⁡2θ+(1+cos⁡4θ)=12\cos 4\theta \cos 2\theta + (1 + \cos 4\theta) = 1
    বা, 2cos⁡4θcos⁡2θ+cos⁡4θ=02\cos 4\theta \cos 2\theta + \cos 4\theta = 0
    বা, cos⁡4θ(2cos⁡2θ+1)=0\cos 4\theta (2\cos 2\theta + 1) = 0

    হয়, cos⁡4θ=0\cos 4\theta = 0
    বা, 4θ=(2n+1)π24\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}
      ⟹  θ=(2n+1)π8\implies \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{8}
    যেহেতু 0<θ<π0 < \theta < \pi:
    n=0  ⟹  θ=π8n = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{8}
    n=1  ⟹  θ=3π8n = 1 \implies \theta = \frac{3\pi}{8}
    n=2  ⟹  θ=5π8n = 2 \implies \theta = \frac{5\pi}{8}
    n=3  ⟹  θ=7π8n = 3 \implies \theta = \frac{7\pi}{8}

    অথবা, 2cos⁡2θ+1=02\cos 2\theta + 1 = 0
    বা, cos⁡2θ=−12=cos⁡2π3\cos 2\theta = -\frac{1}{2} = \cos\frac{2\pi}{3}
    বা, 2θ=2nπ±2π32\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}
    বা, θ=nπ±π3\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}
    যেহেতু 0<θ<π0 < \theta < \pi:
    n=0  ⟹  θ=π3n = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{3}
    n=1  ⟹  θ=π−π3=2π3n = 1 \implies \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

    ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান: θ=π8,π3,3π8,5π8,2π3,7π8\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{8}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন