উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং এদের লব্ধি $R$, বল $P$-এর সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করে।
   আমরা জানি,
   $\tan \theta = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}$

   প্রশ্নমতে, $P = Q$ হলে,
   $\tan \theta = \frac{P \sin \alpha}{P + P \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$
   $= \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$

   $\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}$

   অতএব, লব্ধি $R$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখা যায়, $P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের লব্ধি $R$, বল $P$-এর ওপর লম্ব (অর্থাৎ, $\theta = 90^\circ$)।

   আমরা জানি,
   $\tan 90^\circ = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}$
   $\implies P + Q \cos \alpha = 0 \implies Q \cos \alpha = -P$

   আবার লব্ধির মান,
   $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha$
   $\implies R^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P) = Q^2 - P^2$

   দেওয়া আছে, $R = 15\text{ N}$
   $\therefore Q^2 - P^2 = 15^2 = 225 \quad \text{--- (i)}$

   আবার, বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি $= P + Q = 25\text{ N} \quad \text{--- (ii)}$

   (i) নং সমীকরণ হতে,
   $(Q + P)(Q - P) = 225$
   $\implies 25(Q - P) = 225$
   $\implies Q - P = 9 \quad \text{--- (iii)}$

   (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
   $2Q = 34 \implies Q = 17\text{ N}$

   (ii) থেকে (iii) বিয়োগ করে পাই,
   $2P = 16 \implies P = 8\text{ N}$

   অতএব, নির্ণেয় বলদ্বয় $8\text{ N}$ এবং $17\text{ N}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সুতাটির প্রান্তদ্বয় অনুভূমিক রেখায় অবস্থিত $A$ ও $B$ বিন্দুতে আবদ্ধ, যেখানে $AB = 13\text{ সে.মি.}$।
   সুতার দৈর্ঘ্য $17\text{ সে.মি.}$ এবং $C$ বিন্দুতে $W = 3\text{ কেজি}$ ওজনের বস্তু সংযুক্ত করা হয়েছে।
   ধরি, $AC = 5\text{ সে.মি.}$, তাহলে $BC = 17 - 5 = 12\text{ সে.মি.}$।

   $\triangle ABC$-এ:
   $AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = AB^2$
   সুতরাং, $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ACB = 90^\circ$।

   ধরি, $\angle BAC = \theta_A$ এবং $\angle ABC = \theta_B$।
   যেহেতু $\angle ACB = 90^\circ$, তাই $\cos \theta_A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$ এবং $\cos \theta_B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$।

   $C$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলসমূহ:
   ১. $CA$ অংশ বরাবর টান $T_1$
   ২. $CB$ অংশ বরাবর টান $T_2$
   ৩. খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়াশীল ওজন $W = 3\text{ কেজি ওজন}$

   $AB$ অনুভূমিক হওয়ায়, খাড়া নিম্নমুখী রেখার সাথে $CA$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $= (90^\circ + \theta_A)$
   এবং $CB$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $= (90^\circ + \theta_B)$।

   লামির সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{T_1}{\sin(90^\circ + \theta_B)} = \frac{T_2}{\sin(90^\circ + \theta_A)} = \frac{W}{\sin \angle ACB}$
   $\implies \frac{T_1}{\cos \theta_B} = \frac{T_2}{\cos \theta_A} = \frac{3}{\sin 90^\circ}$

   সুতরাং,
   $T_1 = 3 \cos \theta_B = 3 \times \frac{12}{13} = \frac{36}{13}\text{ কেজি ওজন} \approx 2.77\text{ কেজি ওজন} \text{ (বা, } 27.14\text{ N)}$
   $T_2 = 3 \cos \theta_A = 3 \times \frac{5}{13} = \frac{15}{13}\text{ কেজি ওজন} \approx 1.15\text{ কেজি ওজন} \text{ (বা, } 11.31\text{ N)}$

   অতএব, সুতাটির অংশদ্বয়ের টান যথাক্রমে $\frac{36}{13}\text{ কেজি ওজন}$ এবং $\frac{15}{13}\text{ কেজি ওজন}$।