গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস নয় এমন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে, $AB>CD$।

   অঙ্কন: $O,C$ এবং $O,D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle OCD$-এ $OC+OD>CD$ (ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

   কিন্তু $OC=OD=OA=OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $OC+OD=OA+OB=AB$।

   $\therefore AB>CD$। জ্যাটি ব্যাস হলে $CD=AB$। সুতরাং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AK=BP$, $OL\perp AK$ এবং $OS\perp BP$। প্রমাণ করতে হবে, $OL=OS$।

   অঙ্কন: $O,A$ এবং $O,B$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AL=\dfrac12AK$ এবং $BS=\dfrac12BP$। যেহেতু $AK=BP$, তাই $AL=BS$।

   এখন সমকোণী $\triangle OAL$ ও $\triangle OBS$-এ

   • অতিভুজ $OA=$ অতিভুজ $OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
   • $AL=BS$

   $\therefore\triangle OAL\cong\triangle OBS$ (অতিভুজ-বাহু)।

   অতএব $OL=OS$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $MNST$ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক, অর্থাৎ $\angle NMT+\angle NST=180^\circ$ এবং $\angle MNS+\angle MTS=180^\circ$। প্রমাণ করতে হবে, $M,N,S,T$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

   অঙ্কন: $M,N,T$ বিন্দু তিনটি দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। ধরি, $S$ বিন্দু এই বৃত্তের ওপর নেই। $NT$-এর যে পাশে $S$, সে পাশে বৃত্তের চাপের ওপর কোনো বিন্দু $S'$ ধরি যেন $N,S,S'$ একই রেখায় থাকে। $T,S'$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $MNS'T$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle NMT+\angle NS'T=180^\circ$। প্রদত্ত, $\angle NMT+\angle NST=180^\circ$।

   $\therefore\angle NST=\angle NS'T$ ......(১)

   ক) $S$ বৃত্তের ভেতরে হলে: $\angle NST$ হলো $\triangle SS'T$-এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle NST=\angle NS'T+\angle STS'>\angle NS'T$, যা (১)-এর বিরোধী।

   খ) $S$ বৃত্তের বাইরে হলে: $\angle NS'T$ হলো $\triangle S'ST$-এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle NS'T=\angle NST+\angle S'TS>\angle NST$, এটিও (১)-এর বিরোধী।

   উভয় ক্ষেত্রেই বিরোধ হয়, তাই $S$ বৃত্তের ওপরই অবস্থিত। $\therefore M,N,S,T$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)